第 8 次作业 · 12 月 11 日 | L.D.J 的私家工坊

我当时提交的文件是 李东骏12_11交.pdf。我按提交稿中的印刷题干转写题目。第 5 题里，我当时只写出一个方向，另一方向在答案中明确标为补全证明。

第 5 题

证明

X_n\xrightarrow P X

的充要条件是

E\left( \frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|} \right)\to0.

查看第 5 题答案

记

Y_n=\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}, \qquad0\le Y_n<1.

若 $E(Y_n)\to0$ ，对任意 $\varepsilon>0$ ，函数 $u/(1+u)$ 单调增加，因此

P(|X_n-X|\ge\varepsilon) =P\left(Y_n\ge\frac\varepsilon{1+\varepsilon}\right) \le\frac{1+\varepsilon}{\varepsilon}E(Y_n)\to0.

故 $X_n\xrightarrow P X$ 。这是我当时已经写出的方向。

**补全反向证明：**若 $X_n\xrightarrow P X$ ，则 $Y_n\xrightarrow P0$ 。任取 $0<\delta<1$ ，因 $0\le Y_n<1$ ，

E(Y_n) \le\delta+P(Y_n>\delta).

先令 $n\to\infty$ ，右侧上极限不超过 $\delta$ ；再令 $\delta\downarrow0$ ，得到 $E(Y_n)\to0$ 。

$X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，均值为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^2$ 。证明

\frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n kX_k \xrightarrow P\mu.

查看第 17 题答案

令

Y_n=\frac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nkX_k.

因为 $\sum_{k=1}^nk=n(n+1)/2$ ，所以 $E(Y_n)=\mu$ 。由独立性，

\operatorname{Var}(Y_n) =\frac{4\sigma^2}{n^2(n+1)^2} \sum_{k=1}^nk^2.

利用 $\sum k^2=n(n+1)(2n+1)/6$ ，上式趋于 0。由 Chebyshev 不等式， $Y_n\xrightarrow P\mu$ 。

$X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布， $E(X_i)=0$ 、 $\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2$ 。证明

\frac1n\sum_{k=1}^nX_k^2 \xrightarrow P\sigma^2.

查看第 18 题答案

$X_k^2$ 独立同分布，且

E(X_k^2)=\operatorname{Var}(X_k)+[E(X_k)]^2 =\sigma^2<\infty.

由 Khinchin 大数定律，

\frac1n\sum_{k=1}^nX_k^2 \xrightarrow P E(X_1^2)=\sigma^2.

这里不需要假设 $X_k^2$ 的方差存在。

$X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，方差为 $\sigma^2$ 。令

S_n^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2.

证明 $S_n^2\xrightarrow P\sigma^2$ 。

查看第 19 题答案

设 $E(X_1)=\mu$ 。使用恒等式

S_n^2 =\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2-\bar X_n^2.

由大数定律，

\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2 \xrightarrow P E(X_1^2),

且 $\bar X_n\xrightarrow P\mu$ ，所以 $\bar X_n^2\xrightarrow P\mu^2$ 。因此

S_n^2\xrightarrow P E(X_1^2)-\mu^2 =\boxed{\sigma^2}.