第 6 讲 · 一维随机变量的函数分布

已知 $X$ 的分布，要求 $Y=g(X)$ 的分布，关键不是套哪条公式，而是回答两件事： $Y$ 能取什么值；一个 $y$ 可能由哪些 $x$ 映过来。

1. 离散型：合并所有同像点

若 $X$ 取值 $x_i$ ，则 $Y=g(X)$ 的可能值是 $g(x_i)$ 。不同 $x_i$ 可能映到同一个 $y$ ，这些概率必须相加：

P(Y=y)=\sum_{i:g(x_i)=y}P(X=x_i).

例：平方会合并正负取值

设 $X$ 的分布为

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$

令 $Y=X^2$ ，则

P(Y=0)=0.3,

P(Y=1)=0.2+0.4=0.6,

P(Y=4)=0.1.

漏加负分支是这类题最常见的错误。

2. CDF 法：最通用也最稳

直接从定义出发：

F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y).

把不等式解成关于 $X$ 的区间，再用 $X$ 的分布计算。若 $F_Y$ 可导，最后求

f_Y(y)=F_Y'(y).

CDF 法尤其适合绝对值、平方、最大值这类非单调变换。

3. 单调变换公式

若 $g$ 在 $X$ 的支持集上严格单调，反函数为 $x=h(y)$ ，则

f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|,

只在 $Y$ 的值域内成立。

绝对值来自“概率不因坐标伸缩凭空改变”。小区间 $dy$ 对应原坐标长度约为 $|h'(y)|dy$ 。

例：对数正态分布

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ， $Y=e^X$ ，则 $y>0$ ，反函数 $x=\ln y$ ，导数为 $1/y$ ：

f_Y(y)= \frac1{y\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{(\ln y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right], \qquad y>0.

这称为对数正态分布。由 LOTUS 或正态矩生成公式还能得到

E(Y)=e^{\mu+\sigma^2/2},

\operatorname{Var}(Y) =e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1).

4. 非单调变换：所有分支都要加

若方程 $g(x)=y$ 有多个根 $x_1(y),\ldots,x_m(y)$ ，且各分支可导，则

f_Y(y)= \sum_{j=1}^m f_X(x_j(y)) \left|\frac{dx_j}{dy}\right|.

例： $Y=X^2$

当 $y>0$ 时有 $x=\sqrt y$ 与 $x=-\sqrt y$ 两条分支：

f_Y(y)= \frac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y}, \qquad y>0.

若 $X\sim N(0,1)$ ，则

f_Y(y)=\frac1{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}, \qquad y>0,

即 $Y\sim\chi^2(1)$ 。

例：正弦变换

若 $Y=\sin X$ ，必须先看 $X$ 的支持集。若支持集跨越多个单调区间，同一 $y\in(-1,1)$ 可能对应多个 $x$ ；应按每个落在支持集内的反解分支相加。只写 $x=\arcsin y$ 通常不完整。

5. 线性变换与常见分布结论

若 $Y=aX+b$ 且 $a\ne0$ ，

f_Y(y)=\frac1{|a|}f_X\left(\frac{y-b}{a}\right).

特别地，

X\sim N(\mu,\sigma^2) \Longrightarrow aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2).

若 $X\sim Ga(\alpha,\lambda)$ 且 $c>0$ ，则在率参数约定下

cX\sim Ga\left(\alpha,\frac\lambda c\right).

尺度变大 $c$ 倍，率参数相应除以 $c$ 。

6. 概率积分变换

若 $F_X$ 连续且严格单调，则

U=F_X(X)\sim U(0,1).

证明很直接。对 $0<u<1$ ，

P(U\le u) =P(F_X(X)\le u) =P(X\le F_X^{-1}(u)) =u.

反过来，若 $U\sim U(0,1)$ ，令

X=F^{-1}(U),

就能生成 CDF 为 $F$ 的随机变量。这是逆变换采样的理论基础。

一个特别漂亮的例子

若 $X\sim Exp(2)$ ，则 $F_X(X)=1-e^{-2X}\sim U(0,1)$ 。而

e^{-2X}=1-F_X(X)

也是 $U(0,1)$ ，因为均匀变量的补仍均匀。

7. 固定解题流程

写出 $X$ 的支持集。
求 $Y=g(X)$ 的值域。
离散型列映射表；连续型判断是否单调。
单调可用反函数公式，非单调优先 CDF 法或多分支公式。
写清新密度的支持集。
检查非负性与积分是否为 $1$ 。

若最终密度积分不为 $1$ ，通常不是少了常数，而是漏了一条反函数分支或值域写错。