第 10 讲：积分换元、Jacobian 与三重积分

积分换元不是只把被积函数里的变量替换掉，还必须计算小面积或小体积在映射下被放大了多少。这个局部伸缩因子就是 Jacobian 行列式的绝对值。

二重积分的一般换元

设

x=x(u,v),y=y(u,v),x=x(u,v),\qquad y=y(u,v),

把 uvuv 平面的区域 Δ\Delta 一一映到 xyxy 平面的区域 DD。在适当光滑和非退化条件下，

∬Df(x,y) dx dy=∬Δf(x(u,v),y(u,v))∣∂(x,y)∂(u,v)∣du dv,\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =\iint_\Delta f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv,

其中

∂(x,y)∂(u,v)=∣xuxvyuyv∣.\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix}.

绝对值不能漏：行列式的符号表示方向是否翻转，面积本身非负。

极坐标

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,∣∂(x,y)∂(r,θ)∣=r.x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|=r.

因此

dx dy=r dr dθ.dx\,dy=r\,dr\,d\theta.

适合圆盘、圆环、扇形以及含 x2+y2x^2+y^2 的被积函数。区域描述应先确定角度范围，再沿每条射线确定 rr 的内外边界。

例如

∬x2+y2≤a2(x2+y2) dA=∫02π ⁣∫0ar2⋅r dr dθ=πa42.\iint_{x^2+y^2\le a^2}(x^2+y^2)\,dA =\int_0^{2\pi}\!\int_0^a r^2\cdot r\,dr\,d\theta =\frac{\pi a^4}{2}.

被积函数的 r2r^2 和面积元额外的 rr 是两个不同来源。

线性换元

若区域由 ax+byax+by、cx+dycx+dy 的等值线围成，令

u=ax+by,v=cx+dyu=ax+by,\qquad v=cx+dy

常能把斜平行四边形变成矩形。此时题目给的是 (u,v)(u,v) 关于 (x,y)(x,y) 的 Jacobian，换元公式却需要反方向：

∣∂(x,y)∂(u,v)∣=1∣∂(u,v)∂(x,y)∣.\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| =\frac1{\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|}.

三重积分

对空间区域 Ω\Omega，三重积分

∭Ωf(x,y,z) dV\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV

是小体积加权求和的极限。f=1f=1 时给体积；f=ρf=\rho 时给质量。

常见累次积分有“先一重后两重”的投影法：若

Ω=(x,y,z):(x,y)∈D,z1(x,y)≤z≤z2(x,y),\Omega={(x,y,z):(x,y)\in D, z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)},

则

∭Ωf dV=∬D[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z) dz]dx dy.\iiint_\Omega f\,dV =\iint_D\left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz \right]dx\,dy.

另一种是截面法：固定 zz，先对截面 DzD_z 做二重积分，再对 zz 积。选择哪种取决于哪一类截面更简单。

柱面坐标与球坐标

柱面坐标

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=z,dV=r dr dθ dzx=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz

适合绕 zz 轴旋转对称的圆柱、圆锥、旋转抛物面。

球坐标可约定为

x=ρsin⁡φcos⁡θ,y=ρsin⁡φsin⁡θ,z=ρcos⁡φ,x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,

其中 ρ≥0\rho\ge0、0≤φ≤π0\le\varphi\le\pi 是与正 zz 轴的夹角、0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 是方位角。体积元为

dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ.dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

不同教材可能交换 θ,φ\theta,\varphi 的命名，做题必须看清约定；公式的几何含义不变。

一般三维换元

若

x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),x=x(u,v,w),\quad y=y(u,v,w),\quad z=z(u,v,w),

则

dV=∣∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣du dv dw.dV= \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| du\,dv\,dw.

计算流程始终是四步：

  1. 把旧区域改写成新变量的区域；
  2. 把被积函数全部换成新变量；
  3. 乘 Jacobian 绝对值；
  4. 检查映射是否一一、变量范围是否重复覆盖。

常见错误

  • 极坐标只替换 x,yx,y，漏乘 rr；
  • 把 ∂(u,v)/∂(x,y)\partial(u,v)/\partial(x,y) 当成所需的反向 Jacobian；
  • 球坐标漏掉 sin⁡φ\sin\varphi；
  • 角度范围多取一倍，导致区域重复覆盖；
  • 只变被积函数，不变区域上下限。

换元后先用 f=1f=1 验证能否得到合理的面积或体积，通常能迅速发现范围和 Jacobian 的错误。

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