第 9 讲：二重积分与累次积分

二重积分把“区间分割成小段并求和”推广为“平面区域分成小块并求和”。真正决定计算难度的通常不是被积函数，而是区域怎样描述。

定义与几何意义

设 $f(x,y)$ 定义在有界闭区域 $D$ 上。把 $D$ 分成小区域 $\Delta D_i$ ，在每块取点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，考虑和

\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\Delta D_i.

当分割越来越细，若这个和与分割和取点方式无关地趋于同一极限，就记为

\iint_D f(x,y)\,dA.

当 $f\ge0$ 时，它可理解为曲顶柱体的体积；若 $f$ 有正有负，则是带符号体积。 $\iint_D1\,dA$ 就是区域面积。

$把曲顶柱体分成许多底面积为 Δσi 的小柱体并求和$

连续函数在有界闭区域上可积。二重积分保留线性、区域可加性和比较性质。例如 $m\le f\le M$ 时

m\,\operatorname{Area}(D) \le\iint_D f\,dA \le M\,\operatorname{Area}(D).

若区域可写成 $x$ 型：

D=\{(x,y):a\le x\le b, \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\},

则

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_a^b\left[ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy \right]dx.

这里先固定 $x$ ，沿竖直线从下边界积到上边界，再让 $x$ 横扫区域。

$竖直直线与 x 型区域边界至多相交两次的示意$

若区域可写成 $y$ 型：

D=\{(x,y):c\le y\le d, \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\},

则

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_c^d\left[ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx \right]dy.

上下限必须从几何区域读出，不能只把 $dx,dy$ 的位置机械互换。

给定

\int_a^b\!dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy,

交换次序的步骤是：

例如区域

0\le x\le1,\qquad x^2\le y\le x

位于抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=x$ 之间。交换后 $0\le y\le1$ ，由 $y\le x\le\sqrt y$ 得

\int_0^1dx\int_{x^2}^{x}f(x,y)\,dy =\int_0^1dy\int_y^{\sqrt y}f(x,y)\,dx.

原次序下的内层积分可能没有初等原函数，但交换后容易计算。例如含 $e^{y^2}$ 时，若先对 $y$ 积往往困难；把区域改写后先对 $x$ 积， $e^{y^2}$ 就暂时是常数。

因此看到累次积分，不要默认按题面顺序硬算。先问：哪个变量的积分更简单？区域换序后是否需要分段？

若 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f(-x,y)=-f(x,y)$ ，则

\iint_D f(x,y)\,dA=0.

偶对称可把区域折半再乘 $2$ 。圆盘、椭圆、矩形上的积分经常能用对称性先消掉奇项。

但必须同时检查区域和被积函数的对称性。仅函数是奇函数，而区域不对称，积分不必为零。

若区域无界或被积函数无界，需要用极限定义。非负函数可以通过不断扩大的区域取极限；有正有负时，交换积分次序可能改变结果，必须有绝对可积等条件保证安全。课程常规计算默认连续函数和有界闭区域，但遇到奇点或无穷边界时应先识别为广义积分。