第 8 讲：切线与法面、多元极值和 Lagrange 乘子

梯度不仅用于计算方向导数，它还是连接多元微分、几何和优化的桥梁：等值面的法向量、约束极值的乘子条件都来自梯度。

参数曲线的切线与法平面

空间曲线

$$\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t))$$

在 $t=t_0$ 处若 $\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf0$，切向量就是

$$\mathbf T=\mathbf r'(t_0).$$

过点 $\mathbf r(t_0)$、方向为 $\mathbf T$ 的直线是切线。以 $\mathbf T$ 为法向量、过该点的平面称为法平面。

若曲线由两个曲面交线

$$F(x,y,z)=0,\qquad G(x,y,z)=0$$

给出，那么切向量同时垂直于两个梯度，可取

$$\mathbf T=\nabla F\times\nabla G.$$

前提是两个梯度不平行，叉积不为零。

曲面的切平面与法线

隐式曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $P_0$ 处若 $\nabla F(P_0)\ne0$，梯度是法向量。切平面为

$$\nabla F(P_0)\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0.$$

对显式曲面 $z=f(x,y)$，令

$$F(x,y,z)=f(x,y)-z,$$

法向量可取 $(f_x,f_y,-1)$，于是切平面等价于一阶线性化：

$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$$

无约束极值

若可微函数在区域内部点取得局部极值，则该点满足

$$\nabla f=0.$$

这是必要条件，不是充分条件。驻点可能是极大、极小、鞍点，甚至二阶判别仍无法决定。

对二元函数，在驻点记

$$A=f_{xx},\qquad B=f_{xy},\qquad C=f_{yy},\qquad \Delta=AC-B^2.$$

则：

• $\Delta>0,A>0$：严格局部极小；
• $\Delta>0,A<0$：严格局部极大；
• $\Delta<0$：鞍点；
• $\Delta=0$：二阶判别失效，要回到定义、配方或高阶项。

这就是判断 Hessian 正定、负定或不定的二维版本。

闭区域上的最值

连续函数在有界闭区域上必能取到最大最小值。候选点来自三处：

1. 区域内部的驻点；
2. 边界上的驻点和端点、拐角；
3. 函数不可微但有定义的点。

算出全部候选值后直接比较。只做 $\nabla f=0$ 会漏掉边界最值。

边界若可参数化为 $\mathbf r(t)$，就把 $f(\mathbf r(t))$ 化成一元函数；若边界由等式给出，也可用 Lagrange 乘子。

条件极值与 Lagrange 乘子

在约束

$$g(x,y)=0$$

上求 $f$ 的极值。约束曲线的切向量与 $\nabla g$ 垂直；极值点沿约束的切向变化率为零，所以 $\nabla f$ 也垂直于切线。正则点处两个梯度平行：

$$\nabla f+\lambda\nabla g=0,\qquad g=0.$$

定义 Lagrange 函数

$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y),$$

解 $L_x=L_y=L_\lambda=0$ 得到候选点。

多个约束 $g_1=\cdots=g_m=0$ 时，

$$\nabla f+\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\nabla g_i=0.$$

乘子法给的是必要条件。还要：

• 检查约束梯度是否退化；
• 找全方程组的解；
• 若约束集合有边界或不光滑点，单独处理；
• 根据题意或比较函数值决定极大、极小。

一个直观例子

在椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 上求离原点最远点，相当于极值

$$f=x^2+y^2,\qquad g=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1.$$

方程 $\nabla f+\lambda\nabla g=0$ 会给出坐标轴上的候选点。最终比较 $a^2,b^2$，较长半轴的端点最远。乘子 $\lambda$ 的数值不是目标，候选点和目标函数值才是答案。

一条统一主线

• 曲面 $F=c$ 的法向量是 $\nabla F$；
• 无约束极值要求 $\nabla f=0$；
• 有约束极值要求 $\nabla f$ 落在约束梯度张成的法空间里。

这样理解后，切平面和 Lagrange 乘子不再是两套孤立公式。