第 7 讲：链式法则、Taylor 公式与隐函数定理

这一讲的三个工具都在回答局部问题：复合关系怎样传递变化，函数怎样用多项式近似，方程什么时候能在局部解出一个变量。

链式法则先画依赖关系

若

z=f(u,v),\qquad u=\varphi(x,y),\quad v=\psi(x,y),

则

\frac{\partial z}{\partial x} =f_u\varphi_x+f_v\psi_x,\qquad \frac{\partial z}{\partial y} =f_u\varphi_y+f_v\psi_y.

每一项都对应从自变量到因变量的一条路径。最稳的方法是画出 $x,y\to u,v\to z$ 的依赖图：对目标偏导，沿所有可达路径相乘，再求和。

矩阵形式更统一。若 $g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 、 $f:\mathbb R^m\to\mathbb R^p$ 可微，则

D(f\circ g)(\mathbf x)=Df(g(\mathbf x))Dg(\mathbf x).

矩阵尺寸能帮助检查顺序是否写反。

若 $z=f(x(t),y(t))$ ，则

\frac{dz}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}.

若 $f$ 还显含 $t$ ，即 $z=f(x(t),y(t),t)$ ，别漏掉 $f_t$ ：

\frac{dz}{dt}=f_xx'(t)+f_yy'(t)+f_t.

在 $(x_0,y_0)$ 附近令 $h=x-x_0,k=y-y_0$ 。二阶展开为

\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k) ={}&f(x_0,y_0)+f_xh+f_yk\\ &+\frac12\bigl(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2\bigr) +o(h^2+k^2), \end{aligned}

所有偏导都在 $(x_0,y_0)$ 取值。向量形式是

f(\mathbf x_0+\mathbf h) =f(\mathbf x_0)+\nabla f^T\mathbf h +\frac12\mathbf h^TH_f\mathbf h+o(\|\mathbf h\|^2).

一阶项给切平面；在驻点一阶项消失，二次型 $\mathbf h^TH_f\mathbf h$ 决定局部形状。

多元中值公式可以把两点增量限制到连接它们的线段上。若区域凸且 $f$ 可微，存在 $0<\theta<1$ 使

f(\mathbf b)-f(\mathbf a) =\nabla f(\mathbf a+\theta(\mathbf b-\mathbf a)) \cdot(\mathbf b-\mathbf a).

“区域凸”保证整条线段都在定义域中，不能省略。

方程

F(x,y)=0

不一定能在全局写成 $y=\varphi(x)$ ，但在一点附近可能可以。若

F(x_0,y_0)=0,\qquad F_y(x_0,y_0)\ne0,

且 $F$ 在附近有连续偏导，那么在该点附近存在唯一可微函数 $y=\varphi(x)$ 满足方程，并且

\varphi'(x)=-\frac{F_x}{F_y}.

$F_y\ne0$ 的直观含义是：方程对 $y$ 的变化不“变平”，可以局部反解出 $y$ 。若 $F_x\ne0$ ，则可以反过来解出 $x$ 为 $y$ 的函数。

先从

F_x+F_yy'=0

得到 $y'$ ，再对 $x$ 求全导数：

F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}(y')^2+F_yy''=0,

从而

y''=-\frac{F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}(y')^2}{F_y}.

这里每个 $F$ 的偏导都要沿隐函数 $y(x)$ 取值。

对方程组

\mathbf F(\mathbf x,\mathbf y)=\mathbf0,

若关于待解变量 $\mathbf y$ 的 Jacobian 矩阵 $D_{\mathbf y}\mathbf F$ 在该点可逆，就能局部解出 $\mathbf y=\boldsymbol\varphi(\mathbf x)$ ，且

D\boldsymbol\varphi =-(D_{\mathbf y}\mathbf F)^{-1}D_{\mathbf x}\mathbf F.

标量公式 $-F_x/F_y$ 正是这个矩阵公式的一维版本。