第 6 讲：偏导数、全微分、方向导数与梯度

偏导数只观察坐标轴方向；可微性要求一个线性函数能同时近似所有方向。把这两个层次分开，是多元微分最重要的一关。

偏导数：固定其他变量

对 $z=f(x,y)$ ，在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导为

f_x(x_0,y_0) =\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}h.

计算时把 $y$ 当常数，对 $x$ 做一元求导。 $f_y$ 同理。偏导数的几何意义，是曲面与平面 $y=y_0$ 或 $x=x_0$ 的交线上切线的斜率。

偏导存在不保证连续。经典构造方法是让函数沿坐标轴恒为零，于是两偏导都存在；但沿斜线或曲线趋近时函数不趋于同一个值，从而连连续性都失败。

$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，指存在常数 $A,B$ 使

\Delta f =A\Delta x+B\Delta y +o\!\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right).

若可微，则 $A=f_x(x_0,y_0)$ 、 $B=f_y(x_0,y_0)$ ，全微分为

df=f_x\,dx+f_y\,dy.

它近似的是函数增量：

\Delta f\approx df.

例如测量 $x,y$ 有小误差时，可用

|\Delta f|\approx|f_x\Delta x+f_y\Delta y| \le |f_x||\Delta x|+|f_y||\Delta y|

估计输出误差。

\text{偏导在邻域连续} \Longrightarrow\text{可微} \Longrightarrow\text{连续且各偏导存在}.

反向一般不成立。偏导连续是常用的充分条件，不是可微的必要条件。

按定义验证可微时，先写

R=\Delta f-f_x\Delta x-f_y\Delta y,

再证明

\frac{|R|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\to0.

给定单位方向

\mathbf e=(\cos\alpha,\cos\beta),

方向导数定义为

D_{\mathbf e}f(x_0,y_0) =\lim_{t\to0} \frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}t.

若 $f$ 可微，则

D_{\mathbf e}f =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta =\nabla f\cdot\mathbf e.

这个公式依赖可微性；若只知道方向导数存在，不能机械套梯度点积。

梯度是偏导数组成的向量：

\nabla f=(f_x,f_y)

$梯度垂直于等值线并指向函数最快上升方向$

或在 $n$ 维写成 $(f_{x_1},\dots,f_{x_n})$ 。由 Cauchy–Schwarz 不等式，

D_{\mathbf e}f =\nabla f\cdot\mathbf e \le\|\nabla f\|.

最大方向导数为 $\|\nabla f\|$ ，在 $\mathbf e$ 与梯度同向时取得；最小值是 $-\|\nabla f\|$ 。

对等值曲线 $f(x,y)=c$ ，沿曲线切向量 $\mathbf t$ 移动时函数值不变，所以

\nabla f\cdot\mathbf t=0.

梯度因此垂直于等值曲线；在三维则垂直于等值面。

二阶偏导包括

f_{xx},\quad f_{xy},\quad f_{yx},\quad f_{yy}.

若混合偏导 $f_{xy},f_{yx}$ 在该点附近连续，则

f_{xy}=f_{yx}.

没有连续性条件时，不能默认交换顺序。二阶偏导组成 Hessian：

H_f= \begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix},

它描述一阶线性近似之后剩余的曲率，也是二阶 Taylor 公式和极值判别的核心。