第 5 讲：Euclid 空间、多元极限与连续

多元分析不是把 xx 换成 (x,y)(x,y) 就结束了。最大的变化是：一点可以从无穷多个方向、无穷多条曲线趋近，因此一元里“左右极限相等”的检查方式不再够用。

Rn\mathbb R^n 中的距离与邻域

对 x=(x1,…,xn)\mathbf x=(x_1,\dots,x_n)、y=(y1,…,yn)\mathbf y=(y_1,\dots,y_n)，Euclid 距离是

∥x−y∥=∑i=1n(xi−yi)2.\|\mathbf x-\mathbf y\| =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}.

点 a\mathbf a 的 δ\delta 邻域为

Bδ(a)={x:∥x−a∥<δ}.B_\delta(\mathbf a) =\{\mathbf x:\|\mathbf x-\mathbf a\|<\delta\}.

在二维它是开圆盘，在三维是开球。多元极限中的“足够靠近”就是落入某个小球，而不是只沿坐标轴靠近。

内点、边界点和聚点

  • 若某个小球完全包含在集合 DD 中，a\mathbf a 是 DD 的内点；
  • 若每个小球既碰到 DD 又碰到其补集，a\mathbf a 是边界点；
  • 若每个去心小球都含有 DD 中其他点，a\mathbf a 是聚点。

所有点都是内点的集合称为开集；包含全部极限点的集合称为闭集。一个集合可以既开又闭，例如整个 Rn\mathbb R^n 和空集。

有界闭集在 Rn\mathbb R^n 中是紧集。它保留了一元闭区间上的几个核心结论：连续函数在紧集上有界、能取到最大最小值，并且一致连续。

多元极限的定义

设 a\mathbf a 是定义域的聚点。若

∀ε>0,∃δ>0,0<∥x−a∥<δ⇒∣f(x)−A∣<ε,\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0, \quad0<\|\mathbf x-\mathbf a\|<\delta \Rightarrow |f(\mathbf x)-A|<\varepsilon,

就称 f(x)→Af(\mathbf x)\to A。

这个定义要求所有足够靠近的点都满足误差要求。于是：

  • 沿任意一条路径得到同一个极限，是极限存在的必要条件；
  • 找到两条路径得到不同极限，足以证明极限不存在；
  • 检查若干条常见路径结果相同，仍不能证明极限存在。

例如

f(x,y)=xyx2+y2.f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.

沿 y=xy=x 趋近原点得到 1/21/2，沿 y=−xy=-x 得到 −1/2-1/2，所以极限不存在。

更隐蔽的例子是某些函数沿每条直线都趋于同一值，却沿抛物线给出别的值。因此想证明存在，应使用统一估计，而不是枚举路径。

证明极限存在的三种办法

直接夹逼

把绝对值压成只依赖 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} 的量。例如

∣x2yx2+y2∣≤∣y∣≤x2+y2→0.\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| \le |y| \le\sqrt{x^2+y^2}\to0.

这个估计对所有路径同时成立，所以能证明极限。

极坐标

令 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,y=r\sin\theta。如果能得到

∣f(r,θ)−A∣≤g(r),g(r)→0,|f(r,\theta)-A|\le g(r),\qquad g(r)\to0,

且上界与 θ\theta 无关，就证明了极限。若结果仍依赖 θ\theta，通常提示极限不存在；但不能仅因表达式含 θ\theta 就下结论，还要看依赖是否随 r→0r\to0 消失。

利用连续复合

多项式处处连续；分母不为零处的有理函数连续；初等连续函数的复合仍连续。因此在连续点可直接代入，无须重新做 ε\varepsilon-δ\delta 证明。

多元连续

ff 在 a\mathbf a 连续的条件仍是

lim⁡x→af(x)=f(a).\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}f(\mathbf x)=f(\mathbf a).

对分段定义函数，常见任务是选择原点处的值使其连续。先证明去心部分的极限存在，再把函数值设为该极限；若不同路径极限不同，就不存在任何可补的值。

连续性和偏导数是两件事。函数可能在原点各偏导都存在，却不连续；也可能连续但不可微。后续判断可微时，必须回到“统一线性近似”的定义。

多重极限与累次极限

二重极限

lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y)\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)

要求 x,yx,y 同时任意趋近。累次极限

lim⁡x→alim⁡y→bf(x,y)\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}f(x,y)

则规定了先后顺序。二重极限存在通常能约束累次极限，但两个累次极限都存在且相等，并不自动保证二重极限存在。

做题时先看符号：若题目写的是二重极限，就不能只算两种先后次序；若写累次极限，就必须按给定顺序处理。

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