第 4 讲：Fourier 级数

Fourier 级数的核心想法是：把一个周期函数表示成不同频率的正弦和余弦之和。它不是凭空猜系数，而是利用三角函数的正交性做“投影”。

三角函数系为什么能拆信号

在 $[-\pi,\pi]$ 上， $1,\cos nx,\sin nx$ 两两正交。例如 $m\ne n$ 时

\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,dx=0,

而

\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\,dx=\pi.

因此设

f(x)\sim\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr),

两边分别与 $1,\cos nx,\sin nx$ 相乘并积分，就得到

a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,

a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.

对周期 $2l$ 的函数，把 $nx$ 换成 $n\pi x/l$ ，系数前的 $1/\pi$ 换成 $1/l$ 。

若函数只给在 $(0,l)$ ，可以人为做偶延拓得到半区间余弦级数，或做奇延拓得到半区间正弦级数。两种展开在 $(0,l)$ 内都表示原函数，但端点和区间外的周期延拓不同。

形式上写出系数，不代表每一点都收敛到 $f(x)$ 。在常见的分段光滑条件下，Fourier 级数在 $x$ 处收敛到

\frac{f(x-0)+f(x+0)}2.

所以：

这也是方波的 Fourier 部分和在跳跃附近产生 Gibbs 现象的原因：增加项数会把振荡压缩到更窄的区域，但最大超调不会简单消失。

把 $f(x)=x$ 定义在 $(-\pi,\pi)$ 并作 $2\pi$ 周期延拓。它是奇函数，所以只有正弦项：

b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx =\frac2\pi\int_0^{\pi}x\sin nx\,dx.

分部积分得

b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}n.

因此在 $-\pi<x<\pi$ ，

x=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n\sin nx.

在 $x=\pm\pi$ ，周期延拓左、右极限分别是 $\pi$ 和 $-\pi$ ，所以级数收敛到平均值 $0$ ，而不是端点处任意指定的函数值。

选特殊的 $x$ 代入 Fourier 展开，常能求出数项级数的和。不过代入前必须确认该点的收敛值。

利用 $e^{inx}=\cos nx+i\sin nx$ ，可以写成

f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx},\qquad c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx.

实函数满足 $c_{-n}=\overline{c_n}$ 。复数形式把正、负频率统一起来，在信号分析中更自然；考试若要求实三角形式，则仍应把最后结果还原成正弦、余弦。

最容易错的是把“原函数在端点的定义值”误当成级数的极限。Fourier 级数看到的是周期延拓后的左右行为。