第 3 讲：函数列、函数项级数与一致收敛

函数列 $f_n(x)$ 有两个变化来源： $n$ 在变， $x$ 也在变。逐点收敛只要求对每个固定 $x$ 能收敛；一致收敛则要求整个区间用同一个阶段进入误差带。

两个量词的次序

逐点收敛到 $f$ ：

\forall x\in I, \forall\varepsilon>0, \ \exists N=N(x,\varepsilon), \ n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.

一致收敛到 $f$ ：

\forall\varepsilon>0, \exists N=N(\varepsilon), \ \forall x\in I, n>N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.

差别只在 $N$ 能不能依赖 $x$ ，但后果很大。等价地，

f_n\rightrightarrows f\text{ on }I \iff \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\to0.

$函数列 x 的 n 次方在闭区间上逐点收敛但不一致收敛$

例如 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛到

f(x)=\begin{cases} 0,&0\le x<1,\\ 1,&x=1. \end{cases}

但极限函数不连续，而每个 $f_n$ 连续，所以不可能一致收敛。也可取 $x_n=1-1/n$ ，此时 $x_n^n\to e^{-1}$ ，误差没有趋零。

对

\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x),\qquad S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x),

所谓逐点或一致收敛，指的都是 $S_n$ 的相应收敛。先求“收敛域”是在每个固定 $x$ 上做数项级数判别；再问“一致收敛区间”才需要全区间共同控制。

一致 Cauchy 原理是：对任意 $\varepsilon>0$ ，存在与 $x$ 无关的 $N$ ，使 $m>n>N$ 时

\sup_{x\in I} \left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right|<\varepsilon.

它不需要提前知道和函数，是证明判别法的基础。

若存在与 $x$ 无关的正数 $M_n$ ，使

|u_n(x)|\le M_n\quad(x\in I),

且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 在 $I$ 上一致且绝对收敛。

关键不是随手放大，而是求出或估计

M_n=\sup_{x\in I}|u_n(x)|.

若这个上确界组成的级数发散，只说明 Weierstrass 判别失败，不代表原级数不一致收敛。

若 $\sum_{k=1}^n a_k(x)$ 在 $I$ 上一致有界，而 $b_n(x)$ 对 $n$ 单调并一致趋于 $0$ ，则 $\sum a_n(x)b_n(x)$ 一致收敛。

它适合三角振荡级数：远离使分母退化的端点后， $\sum_{k=1}^n\sin kx$ 或 $\cos kx$ 的部分和可一致控制。

若 $\sum a_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛，且 $b_n(x)$ 对 $n$ 单调并在 $I$ 上一致有界，则乘积级数一致收敛。

若每个 $f_n$ 在区间上连续，且 $f_n\rightrightarrows f$ ，则 $f$ 连续。对函数项级数，这意味着连续通项的一致收敛和仍连续。

在闭区间上，一致收敛还允许交换极限与积分：

\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx =\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx.

逐项求导更严格。常用充分条件是：每个 $f_n$ 可导，导函数列 $f_n'$ 一致收敛，并且 $f_n$ 在至少一个点收敛；这时 $f_n$ 一致收敛到某个可导函数且

f'=\lim_{n\to\infty}f_n'.

不能因为原函数列一致收敛就自动逐项求导。

最实用的三种方法：

对级数还有一个必要条件：若 $\sum u_n(x)$ 一致收敛，则 $u_n(x)$ 必一致趋于 $0$ 。因此只要找到 $x_n$ 使 $|u_n(x_n)|\not\to0$ ，就能快速排除。

做题时应先写清区间。一个级数可能在每个 $[0,r]$ 、 $r<1$ 上一致收敛，却在整个 $[0,1)$ 上不一致收敛；“局部一致”不能偷换成“全域一致”。