第 2 讲：一般项级数、绝对收敛与条件收敛

当通项有正有负，部分和不再单调。“有抵消”可能让原本很大的绝对值相互抵消，所以必须区分绝对收敛和条件收敛。

Cauchy 原理：不必先知道和是多少

级数 ∑an\sum a_n 收敛，当且仅当对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 NN，使得 m>n>Nm>n>N 时

∣∑k=n+1mak∣<ε.\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right|<\varepsilon.

它说的是：足够靠后的任意一段和都很小。这个形式特别适合证明判别法，也能快速识别“远处仍会积累出固定大小”的发散级数。

绝对收敛优先

若

∑n=1∞∣an∣<∞,\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|<\infty,

则 ∑an\sum a_n 必收敛，称为绝对收敛。若原级数收敛但绝对值级数发散，则称条件收敛。

为什么绝对收敛更强？因为

∣∑k=n+1mak∣≤∑k=n+1m∣ak∣,\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right| \le\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|,

右边的尾和能被压到任意小，左边自然满足 Cauchy 原理。

因此一般项级数的第一条路线是：先对 ∣an∣|a_n| 使用正项级数判别。成功就结束；失败不代表原级数发散，只说明需要研究抵消。

交错级数与 Leibniz 判别

标准交错级数写成

∑n=1∞(−1)n−1bn,bn≥0.\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n,\qquad b_n\ge0.

若 bnb_n 从某项起单调递减且 bn→0b_n\to0，则级数收敛。两条条件缺一不可。

更实用的是余项估计：

∣Rn∣≤bn+1,|R_n|\le b_{n+1},

而且余项符号与被舍去的第一项一致。因此要让误差小于 ε\varepsilon，只需令 bn+1<εb_{n+1}<\varepsilon。

交错调和级数

1−12+13−14+⋯1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots

满足 Leibniz 判别，但绝对值后变成调和级数，所以是条件收敛。

Abel 变换：离散版分部积分

许多振荡级数可以写成 ∑anbn\sum a_nb_n。设

Ak=∑j=1kaj,A_k=\sum_{j=1}^{k}a_j,

则有限和满足

∑k=1nakbk=Anbn+∑k=1n−1Ak(bk−bk+1).\sum_{k=1}^{n}a_kb_k =A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).

这一步把“振荡的 aka_k”换成其部分和 AkA_k，把“缓慢变化的 bkb_k”换成差分。Dirichlet 和 Abel 判别都来自这个结构。

Dirichlet 判别

若 ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n}a_k 的部分和一致有界，且 bnb_n 单调趋于 00，则

∑anbn\sum a_nb_n

收敛。

典型振荡项是 an=sin⁡nθa_n=\sin n\theta 或 cos⁡nθ\cos n\theta。只要 θ\theta 不是使振荡退化的特殊值，它们的部分和有界；再乘上单调趋零的 1/np1/n^p，就能用 Dirichlet 判别。

Abel 判别

若 ∑an\sum a_n 收敛，且 bnb_n 单调有界，则 ∑anbn\sum a_nb_n 收敛。这里 bnb_n 不必趋于零；可以把它分成极限与趋零部分，再归结为已收敛级数和 Dirichlet 情形。

级数运算的安全边界

两个收敛级数可以逐项相加、数乘；但重排和乘积要更谨慎。

  • 绝对收敛级数任意重排后仍收敛且和不变；
  • 条件收敛级数重排后可能改变和，甚至发散；
  • Cauchy 乘积在至少一个级数绝对收敛等适当条件下，才可放心把乘积的和写成两个和的乘积。

考试里若题目让交换求和次序，先寻找绝对收敛；不能只凭“每项都有限”。

常见误区

  1. an→0a_n\to0 只排除了最明显的发散，不能作为收敛证明；
  2. 比值判别对 ∣an∣|a_n| 得到极限 11 时完全没有结论；
  3. “正负交替”不自动满足 Leibniz，还要验证绝对值单调趋零；
  4. 条件收敛不适合随意拆项、重排；
  5. Dirichlet 判别要求的是 ∑an\sum a_n 的部分和有界，不是 ana_n 本身有界。

最后可以把路线记成一句话：先绝对值，后交错；交错不标准，再找有界部分和与单调因子。

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