第 1 讲：数项级数与正项级数

“无限多个数相加”不能像有限和那样直接操作。级数真正研究的对象不是省略号，而是一列有限部分和。

收敛到底是什么意思

给定数列 {un}\{u_n\}，记

∑n=1∞un=u1+u2+⋯ ,Sn=∑k=1nuk.\sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\cdots,\qquad S_n=\sum_{k=1}^n u_k.

若 Sn→SS_n\to S，就称级数收敛，和为 SS；否则发散。这个定义立刻带来必要条件：

∑un 收敛⟹un=Sn−Sn−1→0.\sum u_n\text{ 收敛}\quad\Longrightarrow\quad u_n=S_n-S_{n-1}\to0.

反过来不成立。调和级数 ∑1/n\sum 1/n 的通项趋于零，但部分和无界。看到级数题，先检查通项是否趋零；这一步只能快速判发散，不能判收敛。

两个基本模型

几何级数

∑n=0∞qn\sum_{n=0}^{\infty}q^n

在 ∣q∣<1|q|<1 时收敛到 1/(1−q)1/(1-q)，在 ∣q∣≥1|q|\ge1 时发散。

pp 级数

∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}

当且仅当 p>1p>1 时收敛。它们是比较其他级数时最常用的“标尺”。

正项级数为什么更容易

若 un≥0u_n\ge0，部分和 SnS_n 单调递增。因此正项级数收敛当且仅当部分和有上界。判断问题就变成：能否把它压在一个已知的有限量下面。

比较判别法

若从某项起 0≤un≤vn0\le u_n\le v_n，则：

  • ∑vn\sum v_n 收敛，可推出 ∑un\sum u_n 收敛；
  • ∑un\sum u_n 发散，可推出 ∑vn\sum v_n 发散。

方向要和直觉一致：小于一个“有限总量”的级数才安全；大于一个“无限总量”的级数才必发散。

例如

0<1n2+n<1n2,0<\frac1{n^2+n}<\frac1{n^2},

所以 ∑1/(n2+n)\sum 1/(n^2+n) 收敛。事实上它还能裂项成

1n(n+1)=1n−1n+1,\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1},

直接看出部分和收敛到 11。

若不等式难写，使用极限比较。设 un,vn>0u_n,v_n>0 且

lim⁡n→∞unvn=c,0<c<∞,\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=c,\qquad 0<c<\infty,

则两级数同敛散。这里的含义是：它们的尾项处于同一数量级。

比值与根值判别

设 un>0u_n>0。若

lim⁡n→∞un+1un=ρ,\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho,

则 ρ<1\rho<1 时收敛，ρ>1\rho>1 时发散；ρ=1\rho=1 时判别失效。根值判别把比值换成

lim⁡n→∞unn=ρ,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho,

结论相同。

经验上：

  • 阶乘、连乘、指数幂适合比值；
  • 通项整体是 nn 次幂适合根值；
  • 算出 11 不是“收敛”，而是该工具没有提供信息，应换比较或积分判别。

例如 un=n!/nnu_n=n!/n^n：

un+1un=nn(n+1)n=(1−1n+1)n→e−1<1,\frac{u_{n+1}}{u_n} =\frac{n^n}{(n+1)^n} =\left(1-\frac1{n+1}\right)^n\to e^{-1}<1,

因此级数收敛。

积分判别

若 f(x)f(x) 在 [1,∞)[1,\infty) 上正、连续且单调递减，且 un=f(n)u_n=f(n)，则

∑n=1∞un与∫1∞f(x) dx\sum_{n=1}^{\infty}u_n \quad\text{与}\quad \int_1^{\infty}f(x)\,dx

同敛散。它既能得到 pp 级数判据，也能处理

∑n=2∞1n(ln⁡n)p,\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n(\ln n)^p},

该级数当且仅当 p>1p>1 时收敛。

收敛级数的尾项

若 ∑un=S\sum u_n=S，余项为

Rn=S−Sn=∑k=n+1∞uk.R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}u_k.

判断收敛只说明 Rn→0R_n\to0，数值计算还要估计它有多大。正项级数可借助比较或积分得到上下界，例如递减正函数满足

∫n+1∞f(x) dx≤Rn≤∫n∞f(x) dx.\int_{n+1}^{\infty}f(x)\,dx \le R_n\le \int_n^{\infty}f(x)\,dx.

这能回答“取多少项才达到指定精度”。

一套稳定的解题流程

  1. 化简通项并检查 un→0u_n\to0；
  2. 确认是否从某项起非负；有限个首项不影响敛散性；
  3. 找几何级数或 pp 级数作为参照；
  4. 有阶乘、指数再试比值或根值；
  5. 比值极限等于 11 时换工具；
  6. 题目问误差时，最后单独估计余项。

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