第 16 讲：电磁感应、自感与互感

奥斯特发现“电流产生磁场”后，法拉第追问反过来的过程：磁能不能产生电？实验表明，恒定磁场本身不会让静止线圈中持续有电流，真正关键是穿过回路的磁通量发生变化。

电动势是什么

要让正电荷在闭合回路里持续流动，必须有非静电力在回路的某些区域做功。电动势定义为这种力对单位正电荷沿回路做的功：

$$\mathcal E =\oint_L\frac{\mathbf F_{\mathrm{nonstatic}}}{q} \cdot d\mathbf l.$$

它的单位是伏特，但“电动势”不是力，也不一定是两个固定点之间的静电势差。

法拉第电磁感应定律

对选定绕行方向的闭合回路，用右手四指指向回路正向，拇指给出所围曲面的正法线。磁通量为

$$\Phi_B=\iint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S.$$

感应电动势满足

$$\mathcal E_i=-\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

$N$ 匝线圈若每匝磁通相同，定义全磁通 $\Psi=N\Phi_B$，则

$$\mathcal E_i=-\frac{d\Psi}{dt} =-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

负号是楞次定律：感应电流产生的磁场总是阻碍原磁通的变化。它阻碍的是“变化”，不是简单地“与原磁场反向”：原磁通在减小时，感应场会尽力与原场同向。

磁通量可以怎样变

对均匀磁场和平面线圈，$\Phi_B=BS\cos\theta$。所以三种量任一变化都可产生感应：

• $B$ 大小或方向改变；
• 回路有效面积 $S$ 改变；
• 面法线与磁场的夹角 $\theta$ 改变。

“线圈在磁场中运动”本身不足以保证有电动势。例如整个刚性回路在无限大均匀磁场中平移，$B$、$S$、$\theta$ 都不变，闭合回路总电动势为零。

动生电动势

导体以速度 $\mathbf v$ 在磁场中运动时，内部载流子受洛伦兹力 $q\mathbf v\times\mathbf B$。对一段运动导线，

$$\mathcal E_{\mathrm{mot}} =\int(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l.$$

直导体棒长 $l$，$\mathbf v$、$\mathbf B$ 和棒三者两两垂直时，

$$|\mathcal E_{\mathrm{mot}}|=Blv.$$

方向可用 $\mathbf v\times\mathbf B$ 判断，也可用楞次定律判断闭合回路电流方向。若导线弯曲，或 $B$、$v$ 随位置变化，必须做线积分，不能套 $Blv$。

转动导体也可产生动生电动势。例如金属杆绕一端在垂直均匀磁场中以角速度 $\omega$ 转动，长度为 $R$，则

$$|\mathcal E| =\int_0^RB(\omega r)\,dr =\frac12B\omega R^2.$$

这是法拉第圆盘发电机的基本结果。

动生过程的能量从哪里来

导体棒在磁场中切割磁感线，闭合回路中产生电流。该电流又使导体棒受到阻碍运动的安培力。若要维持匀速，外力必须做正功，这份机械能最终转化成回路的焦耳热或对外输出的电能。

微观上磁力对单个载流子仍不做功，但它改变载流子的运动方向，将外力给导体的能量转交给电流。楞次定律中的“阻碍”正是能量守恒的表现。

感生电场

导体回路不动、磁场随时间变化时，麦克斯韦提出：即使空间中没有导线，时变磁场也会产生有旋电场 $\mathbf E_{\mathrm{ind}}$：

$$\oint_L\mathbf E_{\mathrm{ind}} \cdot d\mathbf l =-\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S.$$

若边界固定，可写成

$$\oint_L\mathbf E_{\mathrm{ind}} \cdot d\mathbf l =-\iint_S\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \cdot d\mathbf S,$$

局部形式为

$$\nabla\times\mathbf E =-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}.$$

这个电场的电场线闭合，不能在全空间由一个单值静电势来描述。感生电场不依赖于导体是否存在；导体只是让它驱动出可观测的感应电流。

局限在半径 $R$ 圆柱区域内的均匀轴向磁场 $B(t)$，由轴对称性，涡旋电场沿圆周方向，其大小为

$$E_{\mathrm{ind}}(r)= \begin{cases} \dfrac r2\left|\dfrac{dB}{dt}\right|,&r\le R,\\[6pt] \dfrac{R^2}{2r}\left|\dfrac{dB}{dt}\right|,&r\ge R. \end{cases}$$

即使 $r>R$ 处 $B=0$，那里仍可有非零感生电场，因为该环路所围曲面中的磁通在变。

涡流加热、感应炉、电磁阻尼和电子感应加速器都是课件中这一机制的应用。变压器铁芯做成绝缘薄片叠压，是为了切断大尺寸涡流回路、降低涡流损耗。

动生与感生的统一写法

对可运动导体回路，总电动势可写成

$$\mathcal E =\oint_L (\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B) \cdot d\mathbf l =-\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S.$$

$\mathbf E$ 包含时变磁场产生的感生场，$\mathbf v\times\mathbf B$ 是回路运动的动生项。只有边界固定时，才能把全导数简单换成对 $\mathbf B$ 的偏导数。

自感

回路中电流改变，它自己产生的磁通也改变，从而在自身中产生电动势。线性、几何固定时，

$$\Psi=LI,$$ $$\mathcal E_L=-L\frac{dI}{dt}.$$

自感系数 $L$ 只由回路几何、匝数和周围介质决定。长密绕螺线管的自感为

$$L=\mu\frac{N^2S}{l} =\mu n^2Sl.$$

若几何位置改变或含非线性铁磁芯，$L$ 可能不是常数，应从 $\mathcal E=-d(LI)/dt$ 出发，不能只留 $-L\,dI/dt$。

直流电源 $\mathcal E_0$、电阻 $R$ 和自感 $L$ 串联时，接通后

$$I(t)=\frac{\mathcal E_0}{R} \left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau=\frac LR.$$

断开电源而保留放电回路后，

$$I(t)=I_0e^{-t/\tau}.$$

电感阻碍电流的变化，不是永远阻碍电流；足够长时间后，理想电感对直流相当于导线。

互感

线圈 1 中的电流 $I_1$ 在线圈 2 中产生全磁通

$$\Psi_{21}=M_{21}I_1,$$

从而

$$\mathcal E_{21} =-M_{21}\frac{dI_1}{dt}.$$

在线性互易介质和几何固定时，

$$M_{12}=M_{21}=M.$$

互感取决于线圈尺寸、匝数、相对位置和介质。它满足

$$|M|\le\sqrt{L_1L_2}, \qquad M=k\sqrt{L_1L_2}, \quad 0\le k\le1.$$

两电感串联时，根据绕向与磁通是相助还是相消，

$$L_{\mathrm{eq}} =L_1+L_2\pm2M.$$

变压器和无线充电利用互感；线路串扰和信号泄漏则是不希望出现的互感。

磁场能量

建立电流时，电源必须克服反向自感电动势做功，这份能量储存在磁场中：

$$W_{\mathrm m}=\frac12LI^2.$$

两个耦合线圈的总磁能为

$$W_{\mathrm m} =\frac12L_1I_1^2 +\frac12L_2I_2^2 +MI_1I_2,$$

$M$ 的符号由绕向约定决定。线性磁介质中磁能密度为

$$w_{\mathrm m} =\frac12\mathbf B\cdot\mathbf H,$$

真空中是 $B^2/(2\mu_0)$。对存在显著磁滞的铁磁体，$\mathbf B$ 与 $\mathbf H$ 不是单值线性关系，不能无条件套这个简单密度公式。

解题时的四个先后顺序

1. 先选回路正向和面法线，不先猜电流方向；
2. 写带符号的 $\Phi_B=\int\mathbf B\cdot d\mathbf S$；
3. 用 $\mathcal E=-d\Phi_B/dt$ 得代数结果，正负号自动说明真实方向；
4. 最后再用楞次定律做物理检查。

这个步骤比“看图先猜感应电流”更稳，特别是磁场、面积和方向同时变化时。