第 15 讲：磁力、带电粒子与磁介质

上一讲解决了“电流如何产生磁场”，这一讲解决反过来的问题：磁场如何作用于运动电荷、载流导线和物质内部的微观磁矩。

洛伦兹力

带电量 $q$ 的粒子在电磁场中受力

$$\mathbf F =q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B).$$

磁力部分始终垂直于速度：

$$\mathbf F_B\cdot\mathbf v=0.$$

所以单纯磁场不改变单个粒子的速率和动能，只改变速度方向。若只画受力后看见轨道弯曲，不能因此说“磁力给粒子加了速”。

均匀磁场中的轨道

将速度分解为 $\mathbf v=\mathbf v_{\parallel}+\mathbf v_\perp$。

• $\mathbf v\parallel\mathbf B$ 时磁力为零，粒子沿磁场线匀速运动；
• $\mathbf v\perp\mathbf B$ 时做匀速圆周运动；
• 两个分量都有时，合成沿磁场线的螺旋运动。

非相对论情形下，

$$r=\frac{mv_\perp}{|q|B}, \qquad \omega_c=\frac{|q|B}{m}, \qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B}.$$

螺距为

$$h=v_{\parallel}T.$$

当速度接近光速时，周期不再与速度无关，不能继续套非相对论回旋周期。

非均匀磁场中，粒子的螺旋半径会随 $B$ 改变。缓慢进入强场区时，粒子可能被磁镜反射；两端强、中间弱的磁场构成磁瓶。课件用这一图像解释磁约束、范艾伦辐射带和极光。

载流导线的安培力

导线里大量载流子的洛伦兹力宏观化后，电流元受力

$$d\mathbf F=I\,d\boldsymbol\ell\times\mathbf B.$$

整段导线受力为

$$\mathbf F=I\int d\boldsymbol\ell\times\mathbf B.$$

直导线长 $l$，均匀磁场与电流夹角 $\theta$ 时，$F=IlB\sin\theta$。任意闭合电流回路在均匀磁场中的合力为

$$\mathbf F =I\oint d\boldsymbol\ell\times\mathbf B=0,$$

但合力矩不一定为零。

两根相距 $a$ 的无限长平行导线，单位长度受力

$$\frac Fl =\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a}.$$

同向电流相吸，反向电流相斥。

载流线圈的磁矩

$N$ 匝平面线圈面积为 $S$，定义

$$\mathbf m=NIS\hat{\mathbf n}.$$

在均匀磁场中，线圈合力为零，力矩为

$$\boldsymbol\tau=\mathbf m\times\mathbf B,$$

势能为

$$U=-\mathbf m\cdot\mathbf B.$$

$\mathbf m$ 与 $\mathbf B$ 同向是稳定平衡。在非均匀场中，线圈还可受净力；对尺寸很小的磁偶极子，可用势能的空间梯度求力。

导线可以在磁场中受力做宏观机械功，与“磁力对单个电荷不做功”不矛盾：维持电流的电源与约束载流子的导体格点同时参与了能量转换。

速度选择器、质谱仪和霍尔效应

交叉电磁场中，若电力和磁力反向，直线通过的粒子满足

$$qE=qvB, \qquad v=\frac EB.$$

再让这些粒子进入单独磁场，由 $r=mv/(|q|B)$ 可分离不同荷质比，这就是质谱仪的基本逻辑。

载流薄板放入垂直板面的磁场后，载流子横向偏转，直到横向电场力抵消磁力。若薄板厚度为 $d$，载流子数密度为 $n$，则霍尔电压

$$U_H=\frac{IB}{nqd}.$$

电压正负可判断载流子符号，大小可用于求载流子密度或测量磁场。

介质为什么会磁化

课件以安培的“分子电流”图像组织磁介质：原子内电子轨道运动和自旋都贡献微观磁矩。外磁场会改变这些磁矩的大小或取向，产生宏观磁化。

定义磁化强度

$$\mathbf M =\lim_{\Delta V\to0} \frac{\sum\mathbf m_i}{\Delta V},$$

单位为 $\mathrm{A/m}$。磁化可等效为束缚电流：

$$\mathbf J_{\mathrm b}=\nabla\times\mathbf M, \qquad \mathbf K_{\mathrm b}=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}.$$

均匀磁化介质内部 $\mathbf J_{\mathrm b}=0$，但表面仍有等效面电流 $\mathbf K_{\mathrm b}$。它与真正跨越宏观尺度运输电荷的传导电流不同，但两者都会产生磁场。

$\mathbf B$、$\mathbf H$、$\mathbf M$

引入磁场强度

$$\mathbf H=\frac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M,$$

于是恒定场中

$$\oint_L\mathbf H\cdot d\mathbf l =I_{\mathrm{free,enc}},$$

右边只数自由传导电流。得到 $\mathbf H$ 后，还要用介质的磁化关系求 $\mathbf M$ 和真正决定磁力的 $\mathbf B$。

对线性各向同性弱磁质，

$$\mathbf M=\chi_{\mathrm m}\mathbf H,$$ $$\mathbf B =\mu_0(\mathbf H+\mathbf M) =\mu_0(1+\chi_{\mathrm m})\mathbf H =\mu\mathbf H.$$

• 顺磁质 $\chi_{\mathrm m}>0$，外场被微弱加强；
• 抗磁质 $\chi_{\mathrm m}<0$，外场被微弱削弱；
• 铁磁质中 $\mathbf B$ 与 $\mathbf H$ 强烈非线性，不能把 $\mu$ 当作常数。

铁磁质由磁畴构成。外场促使磁畴转向或有利取向的磁畴长大；去掉外场后可保留剩磁。$B$-$H$ 关系形成磁滞回线，回线面积对应每个循环的磁滞损耗。温度超过居里点后，铁磁性消失而转为顺磁性。

磁场的边界条件

取分界面法线 $\hat{\mathbf n}$ 由介质 1 指向介质 2。由磁高斯定理，

$$(\mathbf B_2-\mathbf B_1)\cdot\hat{\mathbf n}=0,$$

即 $B_n$ 总连续。由 $\mathbf H$ 的环路定理，

$$\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1) =\mathbf K_{\mathrm f},$$

其中 $\mathbf K_{\mathrm f}$ 是界面上的自由面电流密度。界面无自由面电流时，$H_t$ 连续，但 $B_t$ 可因磁导率不同而跳变。高磁导率材料会让磁感线更倾向在材料内闭合，因此可用于磁屏蔽，但效果与理想导体的静电屏蔽不同。

最后只记一条主线

源电流先决定 $\mathbf H$，介质在 $\mathbf H$ 下产生 $\mathbf M$，两者共同决定

$$\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M).$$

粒子和载流导线的磁力要用 $\mathbf B$，而只包自由电流的环路积分要用 $\mathbf H$。把这两个角色调换，是磁介质题最常见的错误。