第 17 讲：Maxwell 方程组与电磁波

在麦克斯韦之前，静电学、恒定磁场和法拉第感应已经分别建立。但它们放在一起并不完全对称：时变磁场能产生电场，那么时变电场是否也能产生磁场？充电电容器把这个问题变成了必须修补的逻辑矛盾。

充电电容器的环路矛盾

用同一条闭合环路 $L$ 围住充电导线，可选两个共边曲面：

• $S_1$ 穿过导线，包围传导电流 $I$；
• $S_2$ 鼓进电容器极板间，没有自由电荷真正穿过间隙。

如果仍用恒定电流的安培环路定理，同一个 $\oint_L\mathbf H\cdot d\mathbf l$ 对 $S_1$ 给出 $I$，对 $S_2$ 却给出零，结果取决于任意选的曲面，这是不允许的。

另一种看法是对恒定方程 $\nabla\times\mathbf H=\mathbf J$ 取散度：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf H)=0$$

会强制 $\nabla\cdot\mathbf J=0$，但充电过程中导线电流正在向极板堆积电荷，必须满足

$$\nabla\cdot\mathbf J_{\mathrm f} =-\frac{\partial\rho_{\mathrm f}}{\partial t},$$

不能恒为零。

位移电流

麦克斯韦注意到，电位移通量

$$\Phi_D=\iint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S$$

在充电过程中随时间改变。定义位移电流

$$I_D=\frac{d\Phi_D}{dt}.$$

对忽略边缘效应的平行板电容器，$\Phi_D=DS=Q_{\mathrm f}$，因而

$$I_D=\frac{dQ_{\mathrm f}}{dt}=I.$$

这样，无论共边曲面穿过导线还是电容器间隙，都得到同一个环流。安培环路定理被修正为

$$\oint_L\mathbf H\cdot d\mathbf l =\iint_S\mathbf J_{\mathrm f}\cdot d\mathbf S +\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S.$$

位移电流和传导电流都能激发磁场，但物理机制不同：传导电流是自由电荷的宏观运输，可有焦耳热；位移电流是变化的 $\mathbf D$ 对磁场的等效源，不代表自由电荷穿过了电容器间隙。

Maxwell 方程组：积分形式

在宏观介质中，四条方程可写为

$$\oiint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S =Q_{\mathrm{free,in}},$$ $$\oiint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S=0,$$ $$\oint_L\mathbf E\cdot d\mathbf l =-\frac{d}{dt} \iint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S,$$ $$\oint_L\mathbf H\cdot d\mathbf l =\iint_S\mathbf J_{\mathrm f}\cdot d\mathbf S +\frac{d}{dt} \iint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S.$$

它们依次表示：自由电荷是 $\mathbf D$ 的源；没有被发现的磁单极；时变磁场激发涡旋电场；传导电流和时变电场共同激发磁场。

要在介质中实际求解，还需要材料的本构关系。在简单线性各向同性介质中，

$$\mathbf D=\varepsilon\mathbf E, \qquad \mathbf B=\mu\mathbf H, \qquad \mathbf J_{\mathrm f}=\gamma\mathbf E.$$

Maxwell 方程不会替你提供 $\varepsilon$、$\mu$、$\gamma$；这些是介质对场的响应。

Maxwell 方程组：微分形式

在场足够光滑的区域，

$$\nabla\cdot\mathbf D=\rho_{\mathrm f},$$ $$\nabla\cdot\mathbf B=0,$$ $$\nabla\times\mathbf E =-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},$$ $$\nabla\times\mathbf H =\mathbf J_{\mathrm f} +\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}.$$

对最后一式取散度，利用旋度的散度恒为零，得

$$\nabla\cdot\mathbf J_{\mathrm f} +\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf D)=0.$$

再用 $\nabla\cdot\mathbf D=\rho_{\mathrm f}$，正好回到电荷连续性方程。位移电流不是为了追求形式对称硬加的项，它使电磁场方程与电荷守恒真正相容。

静态极限不是两套无关理论

当 $\partial/\partial t=0$ 时，Maxwell 方程自动退化成前面学过的两组方程：

$$\nabla\times\mathbf E=0, \qquad \nabla\times\mathbf H=\mathbf J_{\mathrm f}.$$

所以静电学和磁静学是统一电磁理论的低频特例，不是后来被丢掉的旧理论。

真空中的电磁波

在无自由电荷、无传导电流的真空区域，

$$\nabla\cdot\mathbf E=0, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0,$$ $$\nabla\times\mathbf E =-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf B =\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$

对法拉第定律再取旋度，用

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E,$$

得

$$\nabla^2\mathbf E -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0.$$

同理，

$$\nabla^2\mathbf B -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}=0.$$

这就是波动方程，传播速度

$$c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$

它与实验已知的真空光速相等，于是得出课件的关键结论：光是电磁波。

在均匀、线性、无损介质中，同样的推导给出相速度

$$v=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}.$$

对有电导、色散或强吸收的真实介质，不能只用这个常数公式描写全部传播。

平面电磁波的基本性质

在真空平面波中：

• $\mathbf E$ 和 $\mathbf B$ 都垂直于传播方向 $\mathbf k$，电磁波是横波；
• $\mathbf E\perp\mathbf B$，$\mathbf E\times\mathbf B$ 指向传播方向；
• 两场同相振荡，幅值满足

$$E=cB.$$

线性介质中的场能密度为

$$u=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D +\frac12\mathbf B\cdot\mathbf H.$$

能量流密度由坡印廷矢量表示：

$$\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H.$$

$\mathbf S$ 的方向是能量传播方向，大小是单位时间穿过单位垂直面积的电磁能。这也回应了课程开头的场观点：电磁场可以脱离场源在真空中传播，并携带能量和动量。

电磁波谱

无线电波、微波、红外、可见光、紫外、X 射线和 $\gamma$ 射线都是电磁波，区别主要在频率和波长。真空中

$$c=\lambda f.$$

同一真空中不同频段传播速度相同，但它们与物质相互作用的方式和能量尺度很不同。

用四句话把全课串起来

1. 电荷产生电场，磁感线没有起点和终点；
2. 变化的磁场产生有旋电场；
3. 传导电流和变化的电场共同产生磁场；
4. 离开场源后，时变电场和磁场仍能互相激发，以电磁波向外传播。

这不是额外背诵的结论，而是从前面每条实验定律一步步闭合出来的统一图像。