第 11 讲：高斯定理、电势与场方程

叠加积分是“电荷在哪里，就从哪里积分”。高斯定理换了一种看法：不逐个跟踪电荷元，而是问一个闭合面究竟净穿出了多少电场。

电通量

面元矢量定义为

dS=n^ dS.d\mathbf S=\hat{\mathbf n}\,dS.

穿过曲面 SS 的电通量是

ΦE=∬SE⋅dS.\Phi_E=\iint_S\mathbf E\cdot d\mathbf S.

对闭合面统一取外法线：电场线穿出贡献正通量，穿入贡献负通量。ΦE=0\Phi_E=0 只说穿入和穿出相抵，不代表面上处处 E=0\mathbf E=0。

高斯定理

真空静电场中，

∯SE⋅dS=Qinε0.\oiint_S\mathbf E\cdot d\mathbf S =\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}.

左边的 E\mathbf E 由空间内外所有电荷共同产生，右边只数闭合面包围的净电荷。面外电荷会改变面上的局部电场，但它的电场线对闭合面有入必有出，净通量为零。

高斯定理对任意闭合面都成立，但只有电荷分布具有球、柱或平面对称性时，它才能直接“解出” EE。高斯面应该：

  1. 经过待求场点；
  2. 让有通量的部分上 EE 为常量；
  3. 让其余部分与 E\mathbf E 平行，使通量为零。

三类标准对称

均匀带电球面的同心球形高斯面与径向电场

无限长带电直线外的同轴圆柱形高斯面

半径 RR、总电荷 QQ 的均匀带电球面：

E(r)={0,r<R,Q4πε0r2,r>R.E(r)= \begin{cases} 0,&r<R,\\[4pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2},&r>R. \end{cases}

半径 RR、体电荷密度 ρ\rho 的均匀带电球体：

E(r)={ρr3ε0,r<R,ρR33ε0r2,r>R.E(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0},&r<R,\\[4pt] \dfrac{\rho R^3}{3\varepsilon_0r^2},&r>R. \end{cases}

无限长均匀带电圆柱体，总线电荷密度为 λ\lambda：

E(r)={λr2πε0R2,r<R,λ2πε0r,r>R.E(r)= \begin{cases} \dfrac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0R^2},&r<R,\\[4pt] \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r},&r>R. \end{cases}

无限大均匀带电厚板，厚度 dd、体电荷密度 ρ\rho，取中面为 x=0x=0：

E(x)={ρxε0,∣x∣<d/2,ρd2ε0sgn⁡(x),∣x∣>d/2.E(x)= \begin{cases} \dfrac{\rho x}{\varepsilon_0},&|x|<d/2,\\[4pt] \dfrac{\rho d}{2\varepsilon_0}\operatorname{sgn}(x),&|x|>d/2. \end{cases}

对一个球形带电体挖去偏心小球腔，可把它叠加成“完整的 +ρ+\rho 大球”与“填回腔体的 −ρ-\rho 小球”。若两球心位移为 a\mathbf a，腔内得到均匀场

E=ρ3ε0a.\mathbf E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\mathbf a.

这是课件中“补偿法”的典型用法：先叠加出有对称性的基本分布，再相减。

静电场的功与环路定理

点电荷场中，电场力从 aa 到 bb 做功

Wa→b=q0∫abE⋅dl=qq04πε0(1ra−1rb),W_{a\to b} =q_0\int_a^b\mathbf E\cdot d\mathbf l =\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac1{r_a}-\frac1{r_b}\right),

只与起终点有关。由叠加原理可推广到任意静电场，因而

∮LE⋅dl=0.\oint_L\mathbf E\cdot d\mathbf l=0.

静电场是保守场、无旋场，可以定义单值电势。注意这条环路定理不能原样搬到随时间变化的电场；后面的法拉第定律正是对它的修正。

电势与电势能

电势差定义为

Ua−Ub=∫abE⋅dl,U_a-U_b=\int_a^b\mathbf E\cdot d\mathbf l,

电荷 qq 的电势能为 W=qUW=qU。有限电荷分布通常取 U(∞)=0U(\infty)=0；无限长带电线、无限大带电面的电势在无穷远发散，必须选一个有限位置作零势面。不同零点下的电势数值不同，电势差和电场不变。

点电荷系的电势是标量叠加：

U(r)=14πε0∑iqi∣r−ri∣.U(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_i\frac{q_i}{|\mathbf r-\mathbf r_i|}.

连续分布时，

U(r)=14πε0∫dq(r′)∣r−r′∣.U(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{dq(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}.

电势没有方向，所以当几何对称不足以直接积分电场矢量时，先算 UU 往往更省事。

从电势回到电场

电场永远指向电势下降最快的方向：

E=−∇U.\mathbf E=-\nabla U.

直角坐标中，

Ex=−∂U∂x,Ey=−∂U∂y,Ez=−∂U∂z.E_x=-\frac{\partial U}{\partial x}, \qquad E_y=-\frac{\partial U}{\partial y}, \qquad E_z=-\frac{\partial U}{\partial z}.

电场线与等势面正交；若用相同电势差画相邻等势面，等势面越密的地方场越强。

微分形式：场源与边界条件

借助数学上的高斯定理和斯托克斯定理，两条积分定律变成

∇⋅E=ρε0,∇×E=0.\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\times\mathbf E=0.

再代入 E=−∇U\mathbf E=-\nabla U，得泊松方程

∇2U=−ρε0.\nabla^2U=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}.

无电荷区域 ρ=0\rho=0 时，它化为拉普拉斯方程

∇2U=0.\nabla^2U=0.

这组方程说明了“电荷分布 + 边界条件”才能唯一确定静电场。课件没有把镜像法展开成独立解题法，所以这里不额外引入一套超出课程的“像电荷套路”。

选方法的快速判断

  • 电荷分布有强球、柱或平面对称：先想高斯定理；
  • 电荷分布已知、但对称性不足：用叠加积分；
  • 只需电势或矢量积分很繁：先算标量 UU；
  • 已知电势函数：直接用 E=−∇U\mathbf E=-\nabla U；
  • 求无电荷区域的整体场分布：拉普拉斯方程还需要边界条件，单有 ρ=0\rho=0 不够。

评论