第 12 讲：导体静电平衡与电容

导体中有可以宏观移动的自由电荷。只要导体内存在电场分量，这些电荷就会继续移动。所以“静电平衡”不是没发生过什么，而是电荷经过重新分布后，导体内不再有宏观定向运动。

静电平衡的四个结论

若导体内部存在场，自由电荷就会受力，与“平衡”矛盾。若表面有切向场，表面电荷也会继续沿表面移动。

在导体表面外作一个很薄的高斯柱，得

E_n^{\mathrm{out}}-E_n^{\mathrm{in}} =\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.

导体内 $E_n^{\mathrm{in}}=0$ ，因此真空一侧紧邻表面有

\mathbf E_{\mathrm{out}} =\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat{\mathbf n}.

这个 $\mathbf E_{\mathrm{out}}$ 是所有电荷共同产生的总场，不是“就近这一小块表面电荷单独产生的场”。

孤立导体达到同一电势时，曲率大、更尖锐处往往有更大的面电荷密度，因而附近电场更强。当电场超过空气击穿阈值，空气被电离，形成尖端放电。避雷针、高压设备的圆滑电极都在利用或抑制这一效应。

“尖端电荷多”是定性规律，不是一个可对任意几何直接套的定量公式。

导体腔内没有电荷时，静电平衡下腔内场为零，内表面不带净电荷。外部电荷会改变导体外表面的感应电荷，但不会把电场送进封闭腔内，这就是对外场的静电屏蔽。

若腔内放入净电荷 $q$ ，内表面总感应电荷必为 $-q$ ，才能使导体材料内 $\mathbf E=0$ 。若导体本身原先中性，外表面会出现总量 $+q$ 。

课件特别提醒：不要说“腔外电荷在腔内不产生电场”。正确说法是：外电荷的场与感应电荷的场在腔内正好抵消。

把屏蔽导体接地后，它的电势被固定在地电势，电荷可以与大地交换。因此“接地”不等于“导体电荷必为零”。

课件中的平行大金属板、同心导体球系统都用同一套条件：

不要凭“靠近正电荷就应该是负电”猜所有表面电荷，应当用这四类方程联立。

孤立导体的电容定义为 $C=Q/U$ ，两导体构成电容器时，

C=\frac{Q}{|U_1-U_2|}.

在线性介质中， $C$ 只由导体几何形状、相对位置和介质决定，不随 $Q$ 或 $U$ 的大小改变。“ $C=Q/U$ ”是定义关系，不是说向同一电容器多充一点电就会让电容变大。

真空中的典型电容为：

C_{\text{孤立球}}=4\pi\varepsilon_0R,

C_{\text{平行板}} =\frac{\varepsilon_0S}{d} \quad(S\gg d^2，忽略边缘效应),

C_{\text{球形}} =4\pi\varepsilon_0 \frac{R_1R_2}{R_2-R_1},

C_{\text{同轴柱形}} =\frac{2\pi\varepsilon_0l}{\ln(R_2/R_1)}.

计算电容的定义法是：假设两极板带 $\pm Q$ ，由高斯或叠加求 $\mathbf E$ ，积分得电势差 $U=\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$ ，最后用 $C=Q/U$ 。

理想电容器串联时，中间节点没有其他电荷来源，每只电容器电荷量大小相等，电压相加：

\frac1{C_{\mathrm{eq}}} =\sum_i\frac1{C_i}.

并联时各电容器电压相等，电荷相加：

C_{\mathrm{eq}}=\sum_iC_i.

判断串并联应看节点和电势，不能只看图上的摆放方向。