第 10 讲：库仑定律、电场与叠加

静电学先回答两个问题：电荷之间如何作用，以及怎样把这种作用改写成空间中的“场”。库仑定律给出点电荷之间的力，叠加原理则把它推广到任意电荷分布。

电荷的四个基本性质

“电荷守恒”是说净电荷不会凭空增减，不是说电荷不能在物体之间转移。

真空中两个静止点电荷 $q_1,q_2$ 相距 $r$ 时， $q_1$ 对 $q_2$ 的力为

\mathbf F_{12} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2}{r^2}\,\hat{\mathbf r}_{12},

其中 $\hat{\mathbf r}_{12}$ 由 $q_1$ 指向 $q_2$ ，

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx8.99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.

这个公式的直接条件是“点电荷、静止、真空”。带电体的尺寸远小于它到观察点的距离时，才能近似成点电荷。源电荷快速运动或电磁场明显随时间变化时，不能只套这个静电公式。

场源电荷会改变周围空间。放入一个足够小的正检验电荷 $q_0$ ，定义

\mathbf E(\mathbf r) =\lim_{q_0\to0}\frac{\mathbf F}{q_0}.

“足够小”的意思是检验电荷不应明显改变原来的电荷分布。电场的方向是正检验电荷的受力方向。已知外电场后，点电荷 $q$ 受力为

\mathbf F=q\mathbf E,

这里的 $\mathbf E$ 必须排除 $q$ 自身产生的场。

单个点电荷的场是

\mathbf E =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}\hat{\mathbf r}.

多个场源同时存在时，总场是各场的矢量和：

\mathbf E(\mathbf r)=\sum_i\mathbf E_i(\mathbf r).

电荷连续分布时，先取电荷元

dq=\lambda\,dl, \qquad dq=\sigma\,dS, \qquad dq=\rho\,dV,

再积分

\mathbf E(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,dq(\mathbf r').

这个公式里 $\mathbf r'$ 是源点， $\mathbf r$ 是场点。实际计算按三步走：

积分完要做极限检验：距离远大于带电体尺寸时，结果应退化成总电荷产生的点电荷场。

无限长均匀带电直线外距离 $r$ 处，

E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}.

半径 $R$ 、总电荷 $Q$ 的均匀带电圆环，轴线上距圆心 $x$ 处，

E_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qx}{(R^2+x^2)^{3/2}}.

无限大均匀带电平面两侧，

E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},

方向垂直平面。两块异号等量无限大平面叠加后，板间 $E=\sigma/\varepsilon_0$ ，板外为零。这些“无限”结果只在场点距边缘足够远时近似成立。

相距为矢量 $\boldsymbol\ell$ 的 $-q$ 和 $+q$ 构成电偶极子，电偶极矩为

\mathbf p=q\boldsymbol\ell,

方向由负电荷指向正电荷。距离远大于 $\ell$ 时，延长线上和中垂线上的场分别为

E_{\parallel} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{r^3}, \qquad E_{\perp} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p}{r^3}.

中垂线上的方向与 $\mathbf p$ 相反。在均匀外电场中，电偶极子合力为零，但有力矩

\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E,

它倾向于把 $\mathbf p$ 转到与 $\mathbf E$ 同向。在非均匀场中，电偶极子还会受到指向强场区的净力。