第 9 讲：相对论动量、能量与碰撞

若仍使用经典动量 $m\mathbf v$ ，不同惯性系对碰撞守恒的判断会不一致。相对论动量定义为

\mathbf p=\gamma m\mathbf v.

这里 $m$ 是不随速度变化的静质量。

相对论能量

总能量

E=\gamma mc^2.

静止时

E_0=mc^2.

动能

K=E-E_0=(\gamma-1)mc^2.

低速展开

\gamma\approx1+\frac12\frac{v^2}{c^2}

给出

K\approx\frac12mv^2,

说明经典力学是相对论的低速极限。

\boxed{ E^2=p^2c^2+m^2c^4 }.

静止粒子 $p=0$ 得 $E=mc^2$ ；光子 $m=0$ 得

E=pc.

给定 $E,p$ 可由不变量求静质量：

m^2c^4=E^2-p^2c^2.

P^\mu=\left(\frac Ec,\mathbf p\right)

在洛伦兹变换下作为四矢量变换，其 Minkowski 模长

P^\mu P_\mu=m^2c^2

不变。

孤立过程守恒总四动量，同时包含总能量和三维动量守恒。分析相对论碰撞时，不能只守恒能量或只守恒动量。

由系统总能量和总动量定义

M_{\mathrm{sys}}^2c^4 =E_{\mathrm{tot}}^2 -p_{\mathrm{tot}}^2c^2.

$M_{\mathrm{sys}}$ 不一定等于各粒子静质量之和；内部动能、结合能也贡献系统质量。

在质心系 $\mathbf p_{\mathrm{tot}}=0$ ，

E_{\mathrm{CM}}=M_{\mathrm{sys}}c^2.

因此质心系能量是能用于产生新粒子静质量和内部运动的真实能量。

两个粒子碰后结合，结合体的静质量一般大于两静质量之和，因为初始相对动能转化为内部能量：

M^2c^4= (E_1+E_2)^2 -|\mathbf p_1+\mathbf p_2|^2c^2.

若过程放出辐射，必须把光子的四动量也计入守恒。

母粒子静止衰变为两个粒子时，动量大小相等、方向相反。由

mc^2=E_1+E_2

和能量—动量关系可解出固定的子粒子能量。若某假设衰变要求产物静质量和大于母粒子质量且无外界供能，该过程不可能自发发生。

单个光子不能在真空中衰变为电子—正电子对，因为能量和动量无法同时守恒；需要原子核等第三方吸收反冲。

实验室系中靶粒子静止时，入射能量的一部分不可避免地变成质心整体运动，不能全部用于产生新粒子。阈值问题最稳的方法是计算系统不变量：

s=(P_1+P_2)^2.

在阈值处，产物在质心系相对静止，所需 $s$ 等于产物总静质量平方。直接在实验室系假设所有产物静止会违反动量守恒。

\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},

\frac{dE}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v.

纵向和横向加速度与力的关系不再都等于 $m\mathbf a$ 。考试若只求能量和速度，优先用功—能关系与 $E^2-p^2c^2$ ，避免展开复杂加速度公式。

粒子物理常以 eV 表示能量，以 eV/ $c$ 表示动量，以 eV/ $c^2$ 表示质量。若取自然单位 $c=1$ ，公式简化为 $E^2=p^2+m^2$ ；最后恢复 SI 时要把 $c$ 的幂次补回。