第 8 讲：狭义相对论的时空运动学

狭义相对论建立在两条假设上：

1. 所有惯性系中的物理定律形式相同；
2. 真空光速 $c$ 对所有惯性观察者相同，与光源和观察者运动无关。

光速不变迫使空间与时间相互混合，Galilean 变换只在 $v\ll c$ 时近似成立。

标准洛伦兹变换

设 $S'$ 以速度 $v$ 沿 $S$ 的 $+x$ 方向运动，两原点在 $t=t'=0$ 重合：

$$x'=\gamma(x-vt),$$ $$t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right),$$ $$y'=y,\qquad z'=z,$$

其中

$$\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

逆变换把 $v$ 换成 $-v$。

同时性的相对性

两个事件在 $S$ 中同时，$\Delta t=0$，但

$$\Delta t'= -\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}.$$

若事件发生在不同位置，它们在 $S'$ 中一般不同步。长度收缩的推导必须在同一参考系同时测量两端位置，不能把两个不同时事件的坐标差叫长度。

固有时与时间膨胀

两个事件在某个参考系同地发生，该系时钟测得的时间间隔叫固有时 $\Delta\tau$。其他惯性系测得

$$\Delta t=\gamma\Delta\tau.$$

运动时钟变慢不是信号传播延迟，而是比较两个事件的时空间隔。谁测固有时由“两个事件在哪里同地”决定，不由题目叙述中的主语决定。

固有长度与长度收缩

物体静止系测得的长度叫固有长度 $L_0$。相对物体运动的观察者需同时测两端，得到

$$L=\frac{L_0}{\gamma}.$$

只有沿相对运动方向收缩，垂直方向长度不变。

时空间隔

一维时空间隔

$$\Delta s^2= c^2\Delta t^2-\Delta x^2$$

在洛伦兹变换下不变。

• 类时间隔 $\Delta s^2>0$：存在同地参考系，可有因果联系；
• 类空间隔 $\Delta s^2<0$：存在同时参考系，事件次序可能反转，但不能有亚光速因果联系；
• 类光间隔 $\Delta s^2=0$：由光连接。

固有时满足

$$c^2\Delta\tau^2=\Delta s^2$$

对类时间隔成立。

速度变换

沿运动方向

$$u_x'=\frac{u_x-v} {1-u_xv/c^2}.$$

垂直方向

$$u_y'= \frac{u_y} {\gamma(1-u_xv/c^2)}.$$

光速代入后仍为 $c$；两个亚光速速度合成不会超过 $c$。

多普勒效应

沿视线相对运动的相对论多普勒因子可写为

$$\frac{f_{\mathrm{obs}}}{f_{\mathrm{src}}} =\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$$

对相互远离的约定，$\beta=v/c$；接近时取倒数。相对论多普勒不仅包含传播时间效应，也包含时间膨胀。

双生子问题

往返者改变惯性系，世界线不是一条直的惯性轨迹；留守者可一直处于同一惯性系。两者经历的固有时是各自世界线长度：

$$\tau=\int dt\sqrt{1-v^2/c^2}.$$

不对称来自世界线不同，不是简单说“加速度让钟慢”。分段匀速模型中也能直接比较固有时。

解题最稳的办法

先列事件表：每个事件在各系的坐标是什么，哪些坐标差已知。再决定使用洛伦兹变换、固有时或间隔不变量。不要同时混用不同参考系的距离和时间。