第 7 讲：刚体转动、转动惯量与滚动

刚体内任意两点距离不变。定轴转动时所有点具有相同角位移、角速度和角加速度，但线速度随到转轴距离变化：

$$v=\omega r_\perp, \qquad a_\tau=\alpha r_\perp, \qquad a_n=\omega^2r_\perp.$$

转动惯量

$$I=\sum_i m_ir_{\perp i}^2$$

或

$$I=\int r_\perp^2\,dm.$$

它既取决于质量，也取决于转轴。相同质量和尺寸的物体，质量离轴越远，转动惯量越大。

常见结果：

• 薄环绕中心轴：$I=MR^2$；
• 实心圆盘/圆柱：$I=\frac12MR^2$；
• 均匀细杆绕中心垂直轴：$I=\frac1{12}ML^2$；
• 细杆绕端点垂直轴：$I=\frac13ML^2$；
• 实心球绕直径：$I=\frac25MR^2$。

平行轴与垂直轴

平行轴定理：

$$I_O=I_C+Md^2,$$

其中 $C$ 是质心轴，$d$ 为两平行轴距离。它不能用于两条相交但不平行的轴。

平面薄片的垂直轴定理：

$$I_z=I_x+I_y.$$

只适用于质量都位于同一平面、三轴过同一点且 $z$ 垂直平面。

定轴转动动力学

关于固定转轴，

$$\sum\tau=I\alpha.$$

角动量

$$L=I\omega,$$

转动动能

$$K_{\mathrm{rot}}=\frac12I\omega^2,$$

力矩做功与功率

$$W=\int\tau\,d\theta, \qquad P=\tau\omega.$$

这些形式与平动的 $F=ma$、$p=mv$、$K=mv^2/2$ 平行，但 $I$ 必须关于同一转轴。

刚体平面运动

一般平面运动可拆成质心平动与绕质心转动：

$$K=\frac12Mv_C^2 +\frac12I_C\omega^2.$$

动力学方程：

$$M\mathbf a_C=\mathbf F_{\mathrm{ext}},$$ $$\sum\tau_C=I_C\alpha.$$

两式分别管平动与转动，再加约束条件。

纯滚动

无滑动条件

$$v_C=\omega R, \qquad a_{C,\tau}=\alpha R.$$

接触点相对地面瞬时速度为零，但其加速度通常不为零。滚动时静摩擦方向不一定与质心运动相反，应由“若无摩擦将怎样滑”判断。

沿斜面纯滚下：

$$a_C= \frac{g\sin\theta} {1+I_C/(MR^2)}.$$

转动惯量越大，加速度越小。静摩擦在理想刚性地面上接触点瞬时不位移，通常不做功，但它负责在平动与转动之间分配能量。

转动碰撞

小球撞杆、黏到转盘等瞬时过程：

1. 选取支撑冲量力矩为零的点；
2. 碰撞瞬间用角动量守恒；
3. 若为非弹性碰撞，不用机械能守恒；
4. 碰后运动阶段再根据是否有耗散使用能量。

刚体角动量一般不总与角速度平行；课内定轴且绕主轴转动时才可简化为 $\mathbf L=I\boldsymbol\omega$。

静力平衡

刚体静止需同时满足

$$\sum\mathbf F=0, \qquad \sum\boldsymbol\tau_O=0.$$

取矩点可任意选择，常选未知力最多的支点来消项。只满足合力为零仍可能存在力偶使刚体转动。