第 6 讲：质心运动与二体问题

质心是质量分布的加权平均位置：

$$\mathbf R_C=\frac1M\sum_i m_i\mathbf r_i, \qquad M=\sum_i m_i.$$

连续物体把求和换成

$$\mathbf R_C=\frac1M\int\mathbf r\,dm.$$

对均匀且高度对称的物体，质心由对称性确定；挖孔问题可把缺失部分当作“负质量”做叠加。

质心运动定理

$$M\mathbf V_C= \sum_i m_i\mathbf v_i=\mathbf P,$$

所以

$$\boxed{ M\mathbf a_C=\mathbf F_{\mathrm{ext}} }.$$

内力可以剧烈改变各部分相对运动，却不能改变质心运动。人在静止小船上走动、物体爆炸、太空人拉绳等问题，只要水平方向外力可忽略，质心水平位置保持不变。

若总外力为零，质心匀速运动；并不是系统内每个物体都匀速。

动能分解

令相对质心速度

$$\mathbf v_i'=\mathbf v_i-\mathbf V_C.$$

因 $\sum_i m_i\mathbf v_i'=0$，

$$\sum_i\frac12m_iv_i^2 =\frac12MV_C^2 +\sum_i\frac12m_iv_i'^2.$$

总动能等于质心整体平动动能与质心系内部动能之和。这是 König 定理，也是碰撞和刚体运动的基础。

二体问题的坐标变换

两个质量 $m_1,m_2$，定义

$$\mathbf R= \frac{m_1\mathbf r_1+m_2\mathbf r_2} {m_1+m_2},$$ $$\mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2.$$

反解：

$$\mathbf r_1=\mathbf R+ \frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf r,$$ $$\mathbf r_2=\mathbf R- \frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf r.$$

若内力只依赖相对位置，整体质心运动与相对运动解耦。

约化质量

定义

$$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}.$$

二体动能成为

$$K=\frac12M\dot R^2 +\frac12\mu\dot r^2.$$

相对运动方程

$$\mu\ddot{\mathbf r} =\mathbf F(\mathbf r)$$

看起来像质量为 $\mu$ 的单个粒子在中心力场中运动。若 $m_2\gg m_1$，则 $\mu\approx m_1$，退化为轻粒子绕近似固定重物运动。

引力二体能量

相对运动能量

$$E_{\mathrm{rel}} =\frac12\mu\dot r^2 -\frac{Gm_1m_2}{r}.$$

结合相对角动量

$$L=\mu r^2\dot\theta$$

可写有效势能

$$U_{\mathrm{eff}}(r) =\frac{L^2}{2\mu r^2} -\frac{Gm_1m_2}{r}.$$

圆轨道位于有效势能极小值。束缚轨道 $E_{\mathrm{rel}}<0$，抛物线临界 $E_{\mathrm{rel}}=0$，双曲逃逸 $E_{\mathrm{rel}}>0$。

变形系统的质心

质心定理不要求系统刚性。人在船上移动、绳子从桌边滑落时，内部质量分布在变，但只要把所有相关部分纳入系统，质心方程仍成立。

最常见错误是系统选得不完整：例如只把人作为研究对象，却又想消掉人与船之间的内力。