第 3 讲：动量、冲量、碰撞与变质量运动

动量方法最适合处理作用时间短、力随时间复杂、但外冲量可忽略的问题。对单个质点，

$$\mathbf p=m\mathbf v,\qquad \frac{d\mathbf p}{dt}=\mathbf F.$$

积分得冲量—动量定理：

$$\Delta\mathbf p= \int_{t_1}^{t_2}\mathbf F\,dt =\mathbf J.$$

质点系动量

总动量

$$\mathbf P=\sum_i\mathbf p_i.$$

内力若成对满足第三定律，在总和中抵消：

$$\frac{d\mathbf P}{dt} =\mathbf F_{\mathrm{ext}}.$$

外力合力为零或研究时间很短、外冲量可忽略时，

$$\mathbf P_{\mathrm{before}} =\mathbf P_{\mathrm{after}}.$$

动量是矢量，二维碰撞要分别对各坐标分量守恒。

碰撞分类

所有孤立碰撞都守恒总动量，但动能不一定守恒。

• 弹性碰撞：总动量和总动能都守恒；
• 非弹性碰撞：动量守恒，动能减少并转化为内能、形变等；
• 完全非弹性碰撞：碰后共同速度，动能损失最大。

一维弹性碰撞还满足相对速度反向：

$$v_1-v_2=-(u_1-u_2),$$

其中 $u$ 为碰前、$v$ 为碰后。它与动量守恒联立，可比直接展开动能方程简洁。

恢复系数定义为分离相对速度与接近相对速度之比：

$$e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}, \qquad 0\le e\le1$$

在简单一维被动碰撞中使用。$e=1$ 弹性，$e=0$ 完全非弹性。

质心系看碰撞

质心速度

$$\mathbf V_C=\frac{\mathbf P}{M}$$

在无外力时不变。总动能可拆成

$$K=\frac12MV_C^2+K_{\mathrm{rel}}.$$

碰撞不能改变质心平动动能，损失只来自相对运动部分。这个分解能快速求完全非弹性碰撞的最大动能损失。

爆炸与反冲

爆炸过程中内能转化为动能。若外冲量可忽略，总动量仍守恒，但动能通常增加。枪械后坐、人在船上移动、物体分裂都属于同一模型。

“初始总动量为零”不等于每块碎片动量为零，而是矢量和为零。

变质量系统

直接写 $m\mathbf a=\mathbf F$ 会漏掉质量流带来的动量。以火箭沿一维运动为例，燃气相对火箭以速度 $u$ 向后喷出，在无外力近似下

$$m\,dv=-u\,dm,$$

其中火箭质量变化 $dm<0$。积分得到 Tsiolkovsky 方程：

$$\Delta v=u\ln\frac{m_0}{m}.$$

有重力、阻力时还需加外力项。关键是明确控制体、质量流方向和“相对谁的喷气速度”。

什么时候不能只用动量守恒

• 外冲量不可忽略；
• 需要求碰撞时间或接触力峰值；
• 只知道动量守恒但未知量太多；
• 有转动且碰撞点不经过质心，还要结合角动量；
• 碰撞后是否粘连、是否弹性等物理条件没有给出。

守恒律减少动力学细节，但不能凭一条矢量方程解决所有未知量。