第 2 讲：牛顿定律、约束力与参考系

牛顿第二定律不是“ $F=ma$ 的代数题”，而是一个建模流程：选研究对象、列出所有外力、选参考系和坐标，再投影求解。

三条定律

惯性定律定义惯性参考系：不受合外力的质点保持静止或匀速直线运动。

在惯性系中，

\mathbf F_{\mathrm{net}} =\frac{d\mathbf p}{dt}.

质量恒定且低速时化为

\mathbf F_{\mathrm{net}}=m\mathbf a.

作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在不同物体上，因此不能在同一物体的受力图里相互抵消。

只画研究对象受到的力：

不要把“向心力”额外画成一种新力。向心力只是所有真实力在法向上的合力：

\sum F_n=\frac{mv^2}{R}.

静摩擦满足

|f_s|\le\mu_sN,

数值由“没有相对滑动”的约束决定，只有将要滑动时才取最大值 $\mu_sN$ 。

滑动摩擦的简单模型为

f_k=\mu_kN,

方向与相对滑动速度相反。斜面、传送带和滚动题中，应先判断物体相对接触面的运动趋势，再定摩擦方向。

理想轻绳不可伸长时，绳长约束把不同物体的位移、速度和加速度联系起来。跨过理想定滑轮的同一根绳张力相等；滑轮有质量或绳有质量时通常不再相等。

列方程时每个物体独立受力，再用约束关系闭合。把多个物体作为整体可消去内力，但会失去求张力等内部量的信息。

自然坐标下

\sum F_\tau=m\frac{dv}{dt}, \qquad \sum F_n=m\frac{v^2}{R}.

在竖直圆周上，法向方程随位置改变。判断绳是否绷紧、物体是否脱轨，要额外使用张力或支持力不能为负的接触条件。

若参考系相对惯性系以加速度 $\mathbf A$ 平移，

m\mathbf a'=\mathbf F_{\mathrm{real}}-m\mathbf A.

在非惯性系中加入惯性力

\mathbf F_{\mathrm{in}}=-m\mathbf A

后可继续使用类似牛顿第二定律的形式。惯性力没有施力物体，不能与第三定律配对。

角速度为 $\boldsymbol\Omega$ 的参考系中，还会出现

\mathbf F_{\mathrm{cf}} =-m\boldsymbol\Omega\times (\boldsymbol\Omega\times\mathbf r)

（离心力），

\mathbf F_{\mathrm{cor}} =-2m\boldsymbol\Omega\times\mathbf v'

（Coriolis 力），以及角速度变化时的 Euler 惯性力。

Coriolis 力与相对速度垂直，不改变相对动能，只改变运动方向。

\mathbf F= -G\frac{Mm}{r^2}\mathbf e_r.

球对称质量分布外部的引力场等效于质量集中在球心；均匀球壳内部场为零。只有在高度远小于地球半径时才可近似使用常量 $g$ 。