第 4 讲：功、动能、势能与机械能

能量方法把沿轨迹的力作用压缩成起终状态关系，尤其适合不需要时间、约束力不做功或保守力占主导的问题。

功与动能定理

变力沿路径 $C$ 做功：

$$W_{A\to B}= \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.$$

只有力在位移方向的分量做功。对质点，

$$W_{\mathrm{net}}=\Delta K, \qquad K=\frac12mv^2.$$

这是牛顿第二定律沿路径积分的结果，任意力都可用，不要求保守。

常见功

重力近地面：

$$W_g=mg(y_A-y_B).$$

弹簧力从 $x_A$ 到 $x_B$：

$$W_s=\frac12kx_A^2-\frac12kx_B^2.$$

滑动摩擦在简单恒定情况下

$$W_f=-f_ks$$

其中 $s$ 是接触点相对滑动的路径长度。滚动静摩擦是否做功必须看力作用点在所选参考系中的位移。

保守力与势能

若力做功与路径无关，闭合回路功为零，可定义势能：

$$W_c(A\to B)=U(A)-U(B)=-\Delta U.$$

在三维

$$\mathbf F=-\nabla U.$$

势能加任意常数不改变物理结果；只有势能差有意义。

万有引力势能以无穷远为零：

$$U(r)=-\frac{GMm}{r}.$$

近地面 $mgy$ 只是 $r$ 在地球半径附近的线性近似。

机械能变化

$$E=K+U.$$

非保守力功满足

$$W_{\mathrm{nc}}=\Delta(K+U).$$

若 $W_{\mathrm{nc}}=0$，机械能守恒。摩擦存在时“能量守恒”仍成立，但机械能减少部分转化为内能；不能说总能量消失。

势能曲线

一维保守系统满足

$$E=\frac12m\dot x^2+U(x),$$

所以允许运动区域要求 $E\ge U(x)$，转折点满足 $E=U(x)$。

平衡点满足

$$\frac{dU}{dx}=0.$$

• $U''(x_0)>0$：局部最低点，稳定平衡；
• $U''(x_0)<0$：局部最高点，不稳定平衡。

稳定平衡附近作 Taylor 展开：

$$U(x)\approx U(x_0) +\frac12U''(x_0)(x-x_0)^2,$$

对应简谐振动，角频率

$$\omega=\sqrt{\frac{U''(x_0)}m}.$$

功率

平均功率是功除以时间，瞬时功率

$$P=\frac{dW}{dt} =\mathbf F\cdot\mathbf v.$$

转动中

$$P=\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\omega.$$

若机器额定功率恒定，牵引力会随速度增大而减小：$F=P/v$，不能同时假定恒功率和恒力。

能量法的边界

能量关系通常给速度大小，不直接给方向；也常求不出约束力。若题目问轨道顶点是否脱离、绳张力多大，先用能量求速度，再回到法向牛顿方程。