第 9 讲 · 二次型、合同与正定性

二次型是只含二次项的齐次多项式，例如

$$f(x_1,x_2,x_3) =3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2-2x_2x_3.$$

它把「一个向量」映成「一个数」，并可统一写成 $\boldsymbol x^TA\boldsymbol x$。这让多项式的配方问题转化成矩阵的换基问题。

从多项式读出对称矩阵

对

$$f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^TA\boldsymbol x,$$

可以且应当选 $A$ 为实对称矩阵。对角元 $a_{ii}$ 就是 $x_i^2$ 的系数；交叉项 $x_ix_j$ 在展开时同时来自 $a_{ij}x_ix_j$ 和 $a_{ji}x_jx_i$，因此

$$a_{ij}=a_{ji} =\frac12\bigl[x_ix_j\text{ 的系数}\bigr].$$

「交叉项系数要除以 $2$」是这一章最常见的计算错误。

为什么要化标准形

做可逆线性替换

$$\boldsymbol x=C\boldsymbol y,$$

则

$$f(\boldsymbol x) =\boldsymbol y^T(C^TAC)\boldsymbol y.$$

因此替换后的矩阵是 $C^TAC$，这种关系叫合同。目标是选 $C$ 把它化为对角形：

$$f=d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2.$$

没有交叉项后，二次型在各个方向上的正负和弯曲程度一目了然。

两种化法

正交变换法

因为 $A$ 实对称，存在正交矩阵 $Q$ 使

$$Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$$

取 $\boldsymbol x=Q\boldsymbol y$，二次型化为

$$f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.$$

这种方法不仅消去交叉项，还保持长度和角度，所以适合几何问题。步骤就是实对称矩阵的正交对角化：求特征值，求对应特征向量，对重特征子空间正交化，再归一化。

配方法

配方是直接对多项式做可逆代换。例如

$$x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2 =(x_1+2x_2)^2-2x_2^2.$$

取 $y_1=x_1+2x_2,y_2=x_2$，就得 $f=y_1^2-2y_2^2$。当某个平方项系数非零时，先围绕它配方；若对角项全为零但有交叉项，可先做 $x_i=y_i+y_j,x_j=y_i-y_j$ 一类代换造出平方项。

配方法通常算得快，但得到的变换不一定正交。

惯性定理：正负平方数是不变的

经过可逆线性替换，二次型可化为规范形

$$z_1^2+\cdots+z_p^2 -z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2.$$

虽然化法不唯一，正平方个数 $p$ 和负平方个数 $q$ 是不变的，它们分别叫正惯性指数和负惯性指数。秩为 $p+q$，剩下的零系数个数是 $n-p-q$。

这说明合同变换虽然会改变系数具体大小，但不会改变二次型真正的正负结构。

正定二次型

若对任意非零 $\boldsymbol x$都有

$$\boldsymbol x^TA\boldsymbol x>0,$$

就称二次型或实对称矩阵 $A$ 正定。等价条件有：

1. $A$ 的所有特征值都大于 $0$；
2. 规范形中有 $n$ 个正平方、没有负平方和零项；
3. 所有顺序主子式都大于 $0$，即

$$\Delta_1>0,\Delta_2>0,\ldots,\Delta_n>0.$$

第三条是 Sylvester 判别法。「所有顺序主子式」不是只检查 $\det A>0$；例如对角阵 $\operatorname{diag}(-1,-1)$ 的行列式为正，但显然不正定。

完整算例：正交化二次型

设

$$f=3(x_1^2+x_2^2+x_3^2) +2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$

其对称矩阵为

$$A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}.$$

$(1,1,1)^T$ 是特征值 $5$ 的特征向量；与它正交的二维子空间上，特征值为 $2$。可选一组标准正交特征向量

$$\boldsymbol q_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T, \quad \boldsymbol q_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T, \quad \boldsymbol q_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,-2)^T.$$

令 $Q=(\boldsymbol q_1\ \boldsymbol q_2\ \boldsymbol q_3)$，则

$$Q^TAQ=\operatorname{diag}(5,2,2).$$

取 $\boldsymbol x=Q\boldsymbol y$，得标准形

$$f=5y_1^2+2y_2^2+2y_3^2.$$

三个系数均正，所以 $f$ 正定。

易错点

• 二次型的交叉项在对称矩阵中要平分到 $a_{ij},a_{ji}$。
• 相似 $P^{-1}AP$ 与合同 $P^TAP$ 是两种不同关系；二次型换元对应合同。
• 只有在 $Q$ 正交时，$Q^{-1}=Q^T$，正交对角化才同时是相似和合同变换。
• 正定判别要求 $A$ 是实对称矩阵；对非对称矩阵，$\boldsymbol x^TA\boldsymbol x$ 实际只由它的对称部分决定。