第 8 讲 · 特征值、相似与对角化

矩阵作用在一般向量上会同时改变方向和长度。特征向量是少数「方向不变，只被拉伸或反向」的向量。找到足够多的这种方向，就可以换一组基，把复杂变换变成对角矩阵。

特征值和特征向量

若非零向量 $\boldsymbol v$ 满足

A\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol v,

就称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $\boldsymbol v$ 是对应的特征向量。改写为

(A-\lambda I)\boldsymbol v=0,

要有非零解， $A-\lambda I$ 必须不可逆，因此特征值满足特征方程

\det(\lambda I-A)=0.

求得每个 $\lambda$ 后，再解齐次方程 $(A-\lambda I)\boldsymbol v=0$ ，得到特征子空间。特征向量必须非零；而求解方程时得到的零向量不算特征向量。

若存在可逆矩阵 $P$ 使

B=P^{-1}AP,

就称 $A,B$ 相似。 $P$ 的列是新基用旧基表示的坐标， $P^{-1}AP$ 就是同一线性变换在新基下的矩阵。

相似矩阵共享很多与坐标选择无关的量：

但它们不必有相同的特征向量，因为特征向量的坐标也会随基变化。

若能找到可逆矩阵 $P$ 使

P^{-1}AP=D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n),

就称 $A$ 可对角化。把等式改写为 $AP=PD$ ，就能看出： $P$ 的第 $i$ 列必须是 $\lambda_i$ 的特征向量。因此

A\text{ 可对角化} \Longleftrightarrow A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关特征向量}.

一个充分条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，因为不同特征值对应的特征向量线性无关。但特征值重复不等于一定不能对角化；关键要比较：

每个特征值的几何重数都等于代数重数时，矩阵才可对角化。

设

A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}.

特征多项式为

\det(\lambda I-A) =(\lambda-4)(\lambda-3)-2 =\lambda^2-7\lambda+10 =(\lambda-5)(\lambda-2).

对 $\lambda=5$ ，解 $(A-5I)\boldsymbol v=0$ 可取 $\boldsymbol v_1=(1,1)^T$ ；对 $\lambda=2$ ，可取 $\boldsymbol v_2=(1,-2)^T$ 。两个特征值不同，向量必然无关。取

P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix},

则 $P^{-1}AP=D$ 。由此

A^n=PD^nP^{-1},

而 $D^n$ 只需把对角元分别变成 $5^n,2^n$ 。这就是对角化的计算价值。

实对称矩阵 $A=A^T$ 有更强的谱定理：

对重特征值，先在该特征子空间内做 Gram-Schmidt 正交化，再归一化。把所有单位特征向量排成 $Q$ 的列，即得正交对角化。

若 $p(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ 是 $A$ 的特征多项式，则

p(A)=0.

例如二阶矩阵的特征多项式为 $\lambda^2-s\lambda+d$ ，则 $A^2=sA-dI$ 。所有更高次幂都可逐步化成 $I,A$ 的线性组合，即使矩阵不容易对角化，也能用这个定理降幂。