第 10 讲 · Jordan 标准形

对角化需要 nn 个线性无关特征向量。如果某个重特征值能提供的特征向量太少，矩阵就不能对角化。Jordan 标准形的作用，是在「不可对角化」时给出尽可能接近对角阵的最简形式。

Jordan 块长什么样

特征值 λ\lambda 的 kk 阶 Jordan 块是

Jk(λ)=(λ10⋯00λ1⋱⋮⋮⋱⋱⋱00⋯0λ10⋯⋯0λ).J_k(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\lambda&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&\lambda \end{pmatrix}.

它只比对角阵多了超对角线上的 11。复数域上任意方阵都相似于若干个 Jordan 块的分块对角矩阵：

P−1AP=diag⁡(Jk1(λ1),…,Jks(λs)).P^{-1}AP= \operatorname{diag} \bigl(J_{k_1}(\lambda_1),\ldots,J_{k_s}(\lambda_s)\bigr).

若所有 Jordan 块都是 11 阶，Jordan 形就是对角阵，矩阵可对角化。

超对角线上的 11 从哪里来

对一条向量链 v1,…,vk\boldsymbol v_1,\ldots,\boldsymbol v_k，若

(A−λI)v1=0,(A−λI)v2=v1,⋮(A−λI)vk=vk−1,\begin{aligned} (A-\lambda I)\boldsymbol v_1&=0,\\ (A-\lambda I)\boldsymbol v_2&=\boldsymbol v_1,\\ &\vdots\\ (A-\lambda I)\boldsymbol v_k&=\boldsymbol v_{k-1}, \end{aligned}

则 v1\boldsymbol v_1 是普通特征向量，后面的是广义特征向量。把这些向量依次作为一组基，AA 的作用是

Av1=λv1,Avj=vj−1+λvj.A\boldsymbol v_1=\lambda\boldsymbol v_1, \qquad A\boldsymbol v_j=\boldsymbol v_{j-1}+\lambda\boldsymbol v_j.

这就恰好对应一个 Jordan 块的列。所以那些 11 记录了「后一级广义特征向量会被送到前一级」的链式关系。

如何从核空间维数读出块大小

固定特征值 λ\lambda，考察

dr=dim⁡ker⁡(A−λI)r.d_r=\dim\ker(A-\lambda I)^r.

随 rr 增大，核空间逐步扩大，最后稳定在 λ\lambda 的代数重数。这些维数增量直接编码了 Jordan 块：

  • d1d_1 是 λ\lambda 对应的 Jordan 块总数，也是特征子空间维数；
  • dr−dr−1d_r-d_{r-1} 是大小至少为 rr 的 Jordan 块个数；
  • 使 drd_r 首次稳定的 rr，是最大 Jordan 块的大小。

例如某特征值代数重数为 44，并有

d1=2,d2=3,d3=4.d_1=2, \qquad d_2=3, \qquad d_3=4.

则有 22 个 Jordan 块，其中只有 11 个大小至少为 22，且只有 11 个大小至少为 33。因此块大小是 3+13+1。

完整算例

设

A=(2102).A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}.

特征多项式为 (λ−2)2(\lambda-2)^2，唯一特征值是 22，代数重数为 22。但

A−2I=(0100),A-2I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},

其核只有一维，可取特征向量 v1=(1,0)T\boldsymbol v_1=(1,0)^T。几何重数 1<21<2，所以 AA 不可对角化。

再求 v2\boldsymbol v_2 使

(A−2I)v2=v1.(A-2I)\boldsymbol v_2=\boldsymbol v_1.

可取 v2=(0,1)T\boldsymbol v_2=(0,1)^T。以 v1,v2\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2 为基，AA 的矩阵正是

J2(2)=(2102).J_2(2)=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}.

这个例子已经处在 Jordan 形上，它清楚显示了「一个重特征值，但只有一个独立特征向量」的情况。

Jordan 形怎么算函数

把 Jordan 块写成

Jk(λ)=λI+N,J_k(\lambda)=\lambda I+N,

其中 NN 的超对角线为 11，且 Nk=0N^k=0。因为 λI\lambda I 与 NN 可交换，

Jk(λ)m=∑r=0k−1(mr)λm−rNr.J_k(\lambda)^m =\sum_{r=0}^{k-1} \binom mr\lambda^{m-r}N^r.

幂级数在 r=kr=k 之前就截断。对解微分方程、求矩阵高次幂和矩阵指数时，这比直接乘法简单得多。

最小多项式与 Jordan 形

使 mA(A)=0m_A(A)=0 的首一多项式 mAm_A 叫 AA 的最小多项式。对每个特征值 λ\lambda，mAm_A 中因子 (x−λ)(x-\lambda) 的次数，正好等于 λ\lambda 所对应最大 Jordan 块的大小。

因此一个矩阵可对角化，当且仅当它的最小多项式没有重根。

易错点

  • 代数重数决定同一特征值的 Jordan 块总大小，几何重数决定 Jordan 块个数，两者不能混。
  • Jordan 标准形的块顺序可以调换，所以「唯一」指不计块排列顺序的唯一。
  • 广义特征向量不一定满足 Av=λvA\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol v；它满足某个 rr 使 (A−λI)rv=0(A-\lambda I)^r\boldsymbol v=0。
  • 实矩阵若有非实特征值，在实数域上不一定有上述 Jordan 形；课件中的标准结论是在复数域上陈述的。

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