第 6 讲 · 矩阵运算、逆、初等矩阵与分块

矩阵是数表，但更重要的理解是：矩阵是线性变换在选定基下的记录。矩阵乘向量是做一次变换，矩阵相乘是变换的复合。

为什么矩阵乘法是「行乘列」

若 $B:\mathbb R^p\to\mathbb R^n$ ， $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ ，那么先做 $B$ 、再做 $A$ 的复合是

\boldsymbol x\longmapsto B\boldsymbol x \longmapsto A(B\boldsymbol x)=(AB)\boldsymbol x.

所以 $A_{m\times n}B_{n\times p}$ 才有定义，结果是 $m\times p$ 。「内维相同，外维留下」是尺寸检查的快速口诀。

第 $j$ 列视角更有用： $AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 作用在 $B$ 的第 $j$ 列上的结果。由此可见矩阵乘法一般不可交换：先旋转再投影，和先投影再旋转，通常不是同一件事。

A(B+C)=AB+AC, \qquad (AB)C=A(BC),

但一般 $AB\ne BA$ 。转置会把乘法顺序反过来：

(AB)^T=B^TA^T.

对方阵，迹 $\operatorname{tr}(A)$ 是主对角线元素之和，并有

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).

这不是说 $AB=BA$ ，而是两个积的迹恰好相同。

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆，是指存在 $A^{-1}$ 使

AA^{-1}=A^{-1}A=I.

它有许多等价条件：

\begin{aligned} A\text{ 可逆} &\Longleftrightarrow \det A\ne0\\ &\Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A)=n\\ &\Longleftrightarrow A\boldsymbol x=\boldsymbol0\text{ 只有零解}\\ &\Longleftrightarrow A\boldsymbol x=\boldsymbol b\text{ 对每个 }\boldsymbol b\text{ 有唯一解}. \end{aligned}

因此可逆不只是「有个公式能算」，而是这个变换一一对应，不把两个不同输入压成同一输出。

常用的求逆方法有两种：

第一种更适合具体数值，第二种更适合理论推导和低阶符号矩阵。

对单位矩阵做一次初等行变换，得到初等矩阵 $E$ 。左乘 $EA$ 就等于对 $A$ 做同一次行变换；右乘则对应列变换。

每个初等矩阵都可逆，它的逆是反向操作所对应的初等矩阵。任意可逆矩阵都能写成若干初等矩阵的乘积，这也是 $[A\mid I]$ 求逆法的本质。

初等行、列变换不改变秩。对任意可乘矩阵，

\operatorname{rank}(AB)\le \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\}.

如果 $P,Q$ 可逆，则

\operatorname{rank}(PAQ)=\operatorname{rank}(A).

因为可逆变换不丢失方向，它只是换了坐标描述。

尺寸匹配时，分块矩阵可以按普通矩阵的规则运算。例如

\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}AX+BY\\CX+DY\end{pmatrix}.

最常用的是分块三角矩阵。若 $B,D$ 可逆，

M=\begin{pmatrix}B&0\\C&D\end{pmatrix},

设 $M^{-1}=\begin{pmatrix}X&0\\Y&Z\end{pmatrix}$ ，由 $MM^{-1}=I$ 比较分块可得

M^{-1}= \begin{pmatrix} B^{-1}&0\\ -D^{-1}CB^{-1}&D^{-1} \end{pmatrix}.

不必死记负号和乘法顺序；临场设未知分块再相乘，更稳。

设

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\1&1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} =\boldsymbol u\boldsymbol v^T.

因为 $\boldsymbol v^T\boldsymbol u=4$ ，

A^2=\boldsymbol u(\boldsymbol v^T\boldsymbol u)\boldsymbol v^T=4A.

于是归纳得

A^n=4^{n-1}A, \qquad n\ge1.

这比直接乘 $n$ 次快得多。遇到各行或各列成比例的矩阵，先尝试写成列向量乘行向量的秩 $1$ 分解。