第 5 讲 · 行列式

行列式把一个方阵压缩成一个数，这个数同时记录了两件事：线性变换对有向体积放大了多少倍，以及它是否把空间压扁到更低维。

二阶、三阶行列式的几何意义

对二阶矩阵

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \qquad \det A=ad-bc.$$

$|\det A|$ 是两个列向量张成的平行四边形面积，符号表示方向是否翻转。三阶时，$|\det A|$ 是三个列向量张成的平行六面体体积。因此

$$\det A=0 \Longleftrightarrow \text{列向量线性相关} \Longleftrightarrow \text{变换把空间压到低维}.$$

$n$ 阶定义为什么有逆序数

按排列定义，

$$\det A= \sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n},$$

求和遍历 $1,2,\ldots,n$ 的所有排列，$\tau$ 是逆序数。每一项从每行、每列各取一个元素，而符号保证交换两行会使行列式变号。

考试很少要求用这个定义直接算大行列式，但它用来判断「某个元素出现在哪些展开项」和证明性质。

三条行变换规则

计算行列式时，最有用的不是全展开，而是把它化成三角形：

1. 交换两行，行列式变号；
2. 某行乘 $k$，行列式也乘 $k$；
3. 某行的 $k$ 倍加到另一行，行列式不变。

列也完全类似。化成上三角后，行列式就是主对角线之积，但别忘了把之前的换行、数乘带来的因子算回去。

还有几条可以从上述性质立即得到：

• 两行或两列相同，行列式为 $0$；
• 两行或两列成比例，行列式为 $0$；
• $\det A^T=\det A$；
• $\det(AB)=\det A\det B$；
• $\det(kA)=k^n\det A$，不是 $k\det A$。

代数余子和按行展开

删去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列，剩下的 $n-1$ 阶行列式叫余子式 $M_{ij}$，代数余子为

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$

沿第 $i$ 行展开：

$$\det A=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}.$$

沿某列也同理。实战时应先用行列变换造出尽量多的 $0$，再选零最多的行或列展开，而不是见到行列式就从第一行硬展开。

完整算例：带参数的对称行列式

计算

$$D=\begin{vmatrix} a&b&b\\ b&a&b\\ b&b&a \end{vmatrix}.$$

先把第 $2,3$ 行分别减第 $1$ 行：

$$D= \begin{vmatrix} a&b&b\\ b-a&a-b&0\\ b-a&0&a-b \end{vmatrix}.$$

从第 $2,3$ 行各提取 $a-b$，并注意 $b-a=-(a-b)$：

$$D=(a-b)^2 \begin{vmatrix} a&b&b\\ -1&1&0\\ -1&0&1 \end{vmatrix}.$$

把第 $2,3$ 列加到第 $1$ 列，得

$$D=(a-b)^2 \begin{vmatrix} a+2b&b&b\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix} =(a-b)^2(a+2b).$$

这个结果还能从特征值角度理解：$(1,1,1)^T$ 对应特征值 $a+2b$，与它正交的二维子空间上特征值均为 $a-b$。

克拉默法则是判定定理，不是高效算法

对 $n$ 元 $n$ 个方程 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$，若 $\det A\ne0$，则有唯一解

$$x_i=\frac{D_i}{D},$$

其中 $D=\det A$，$D_i$ 是用 $\boldsymbol b$ 替换 $A$ 的第 $i$ 列得到的行列式。它清楚地说明了「行列式非零就有唯一解」，但对大系统，高斯消元比重复计算 $n+1$ 个行列式高效得多。

易错点

• 行列式只对方阵定义，矩形矩阵只谈秩，不谈行列式。
• $\det(A+B)$ 一般不等于 $\det A+\det B$；行列式对「某一行」是线性的，但不是对整个矩阵的加法线性。
• 按代数余子展开时，符号是 $(-1)^{i+j}$，棋盘式从左上角的正号开始。
• $\det A=0$ 时克拉默法则失效，但方程组可能无解，也可能有无穷多解，仍要看增广秩。