第 4 讲 · 线性空间、子空间与解的结构

前面的向量都在 $\mathbb R^n$ 里，但线性代数并不关心「元素一定是数组」。多项式、矩阵、函数都能成为向量，只要它们的加法和数乘满足相同的线性规则。

线性空间是一套运算结构

一个集合 $V$ 配上向量加法和数乘，若对任意 $\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w\in V$ 和标量 $a,b$ 满足加法交换、结合，存在零元和负元，数乘与加法满足分配律等公理，就称 $V$ 为线性空间。

考试中判断一个「新运算」能否构成线性空间，最快的办法不是按顺序默写所有公理，而是先找最易失败的项：

只要找到一条反例，就已经能否定。

非空子集 $W\subseteq V$ 是子空间，当且仅当对任意 $\boldsymbol u,\boldsymbol v\in W$ 和标量 $a,b$ ，都有

a\boldsymbol u+b\boldsymbol v\in W.

这条「对线性组合封闭」的判定，已经同时包含了加法和数乘封闭。特别地，子空间一定包含零向量，所以不过原点的直线或平面不是 $\mathbb R^n$ 的子空间。

齐次方程组的解集

N(A)=\{\boldsymbol x:A\boldsymbol x=\boldsymbol0\}

对线性组合封闭，因此是子空间，叫 $A$ 的零空间或核。它的维数由秩-零度定理给出：

\dim N(A)=n-\operatorname{rank}(A),

其中 $n$ 是 $A$ 的列数。这正是自由变量的个数。

对子空间 $U,W\subseteq V$ ，

U+W=\{\boldsymbol u+\boldsymbol w: \boldsymbol u\in U,\boldsymbol w\in W\}

仍是子空间，而 $U\cap W$ 也是子空间。它们的维数满足

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

这是线性空间版的「容斥」： $U$ 和 $W$ 里重复计数的方向，正是交空间。

若 $U\cap W=\{\boldsymbol0\}$ ，就称 $U+W$ 为直和，记为 $U\oplus W$ 。「直」不是说几何上必须垂直，而是说每个向量的分解

\boldsymbol v=\boldsymbol u+\boldsymbol w, \qquad \boldsymbol u\in U, \quad \boldsymbol w\in W

是唯一的。唯一性和交只含零向量是等价的。

若 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 有一个特解 $\boldsymbol x_0$ ，那么任意解 $\boldsymbol x$ 都满足

A(\boldsymbol x-\boldsymbol x_0)=\boldsymbol0.

因此

\{\boldsymbol x:A\boldsymbol x=\boldsymbol b\} =\boldsymbol x_0+N(A).

它是零空间的一个平移，一般不经过原点，因而不是子空间。但它的「方向」和维数都由 $N(A)$ 决定。

这个结构还立即解释了两个事实：

映射 $T:V\to W$ 若满足

T(a\boldsymbol u+b\boldsymbol v) =aT(\boldsymbol u)+bT(\boldsymbol v),

就是线性变换。一旦给定 $V,W$ 的基， $T$ 可由一个矩阵 $A$ 表示： $A$ 的第 $j$ 列是 $T(\boldsymbol e_j)$ 在输出基下的坐标。所以矩阵不只是数表，而是线性变换在某两组基下的坐标表达。

核与像分别是

\ker T=\{\boldsymbol v:T(\boldsymbol v)=\boldsymbol0\}, \qquad \operatorname{im}T=\{T(\boldsymbol v):\boldsymbol v\in V\}.

对矩阵 $A$ ， $\ker T=N(A)$ ，而 $\dim\operatorname{im}T=\operatorname{rank}(A)$ 。因此秩-零度定理也可写成

\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

设

U=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \right\}, \quad W=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \right\}.

交中向量同时有两种表示：

a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} =c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}.

对 $a,b,c,d$ 解齐次方程，得 $a=b=c=t,d=0$ 。因此

U\cap W =\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \right\},

交空间维数为 $1$ 。这类题的统一方法就是「两种线性表示相等」，再解一个齐次方程组。