第 15–16 周作业 · 广义积分

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教学日历把习题 9.1、9.2 列为第 15 周作业，把习题 9.3、9.4 列为第 16 周作业；源提交文件名是《第十六周题.pdf》，实际作答覆盖习题 9.1、9.2、9.4。这里保留两套周次并合并成一篇：全部原题放在折叠外，带红色批改痕迹的手写提交放在对应题目之后，不把被批错的推导替换成标准答案。习题 9.3 没有书面提交，其中第 4、5 题在教学日历中注明为阅读题，仍保留完整题面。源文件首尾空白页不作为题目展示。

习题 9.1

习题 9.1 · 第 1 题（第 3、5、7、10 小题）

计算：

  1. ∫0+∞dxx4+a4\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^4+a^4}；
  2. ∫0+∞xln⁡x(1+x2)2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx；
  3. ∫0+∞dx1+x3\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^3}；
  4. ∫0+∞e−axsin⁡bx dx\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin bx\,dx，其中 a>0a>0，b≠0b\neq0。
查看手写提交与批注

第 3 小题令 x=atan⁡tx=a\tan t，最后写成 π/(4a3)\pi/(4a^3)；该行被红笔划出，未写教师改正值。

第 5 小题令 t=1/xt=1/x，把积分化为自身的相反数，得到

I=−I,I=0,I=-I, \qquad I=0,

旁有红色对勾。

第 7 小题先做部分分式分解，提交结果为

2π33,\frac{2\pi}{3\sqrt3},

旁有红色对勾。

第 10 小题使用分部积分，并把 e−axsin⁡bxe^{-ax}\sin bx 合并成带相位的指数衰减形式，最后提交

I=ba2+b2.I=\frac{b}{a^2+b^2}.

中间一段推导被红笔划改，但末值保留。

习题 9.1 · 第 3 题

求 cc，使

∫0+∞(2xx2+1−c2x+1)dx\int_0^{+\infty}\left(\frac{2x}{x^2+1}-\frac{c}{2x+1}\right)dx

收敛，并求积分值。

查看手写提交与批注

稿中合并对数后比较无穷远处的发散项，分别讨论 c<4c<4、c>4c>4 和 c=4c=4，最后提交

c=4,I=−2ln⁡2.c=4, \qquad I=-2\ln2.

旁有红色对勾。

习题 9.1 · 第 6 题

设 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上连续，且 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。证明存在数列 xn→+∞x_n\to+\infty，使 f(xn)→0f(x_n)\to0。

查看手写提交与批注

提交从“假设 lim⁡x→+∞f(x)=A≠0\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\neq0”开始，用积分尾部与常数比较来制造矛盾，最后断言 A=0A=0，再称由极限定义可取所需数列。

教师在这一页用红字指出：“函数极限不一定存在。”因此原稿的起点并不由题设保证，这份证明被判为无效。

习题 9.2

习题 9.2 · 第 1 题（第 1、3、7 小题）

判断：

  1. ∫1+∞x1+x2 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx；
  2. ∫1+∞dx1+x∣sin⁡x∣\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x|\sin x|}；
  3. ∫0+∞arctan⁡x1+xp dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{1+x^p}\,dx。
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第 1 小题写出被积函数与 1/x1/x 的极限比较，结论为发散。

第 3 小题用

11+x∣sin⁡x∣≥11+x\frac1{1+x|\sin x|}\geq\frac1{1+x}

比较，结论为发散。

第 7 小题在 x=1x=1 处分段。稿中根据 arctan⁡x∼x\arctan x\sim x（x→0+x\to0^+）与 arctan⁡x∼π/2\arctan x\sim\pi/2（x→+∞x\to+\infty）写出：当 p>1p>1 时收敛，当 0<p≤10<p\leq1 时发散。源题未限定 pp 的范围，稿中也没有讨论 p≤0p\leq0。

习题 9.2 · 第 2 题

设 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。是否一定有 lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0？证明：如果极限存在且等于实数 bb，则 b=0b=0。

查看手写提交

稿中分别假设 b>0b>0 与 b<0b<0。以 b>0b>0 为例，取足够大的 MM，使 x>Mx>M 时 f(x)>b/2f(x)>b/2，于是尾积分下界随上限趋向无穷，与收敛矛盾；b<0b<0 同理。最后写出 b=0b=0。

习题 9.2 · 第 4 题

设 g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)，且 ∫a+∞g(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\,dx、∫a+∞h(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}h(x)\,dx 都收敛。证明 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。

查看手写提交

稿中由

0≤f(x)−g(x)≤h(x)−g(x)0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)

先写出 ∫a+∞[h(x)−g(x)] dx\int_a^{+\infty}[h(x)-g(x)]\,dx 收敛，再用比较判别得到 ∫a+∞[f(x)−g(x)] dx\int_a^{+\infty}[f(x)-g(x)]\,dx 收敛，最后加回 gg，得到 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。

习题 9.3

习题 9.3 · 第 1 题

设 f(x)f(x) 为非负递减函数，且广义积分 ∫1+∞f(x) dx\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。证明当 x→+∞x\to+\infty 时，

f(x)=o ⁣(1x).f(x)=o\!\left(\frac1x\right).

习题 9.3 · 第 7 题（第 1、3、7、11 小题）

研究下列积分的敛散性：

  1. ∫1+∞ln⁡xxsin⁡x dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x}\sin x\,dx；
  2. ∫0+∞xsin⁡(a+x)1+xα dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x\sin(a+x)}{1+x^\alpha}\,dx，其中 α>0\alpha>0；
  3. ∫1+∞sin⁡xcos⁡1xx dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x\cos\frac1x}{x}\,dx；
  4. ∫1+∞(3−arctan⁡x)cos⁡2xxm dx\displaystyle\int_1^{+\infty}(3-\arctan x)\frac{\cos2x}{x^m}\,dx，其中 m>0m>0。

习题 9.3 · 第 8 题（第 1、4 小题）

研究下列积分的绝对收敛性和条件收敛性：

  1. ∫0+∞xcos⁡x1+x dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt{x}\cos x}{1+x}\,dx；
  2. ∫1+∞(3−arctan⁡x)cos⁡2xxm dx\displaystyle\int_1^{+\infty}(3-\arctan x)\frac{\cos2x}{x^m}\,dx，其中 m>0m>0。

习题 9.3 · 第 9 题

设 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上单调递减趋于 00。试用 Dirichlet 判别法证明，广义积分

∫a+∞f(x) dx,∫a+∞f(x)sin⁡2x dx,∫a+∞f(x)cos⁡2x dx\int_a^{+\infty}f(x)\,dx, \qquad \int_a^{+\infty}f(x)\sin^2x\,dx, \qquad \int_a^{+\infty}f(x)\cos^2x\,dx

同时敛散。

阅读题：习题 9.3 第 4、5 题

  1. 证明：若 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 绝对收敛，且 lim⁡x→+∞g(x)=A\lim_{x\to+\infty}g(x)=A，则 ∫a+∞f(x)g(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx 绝对收敛。若将 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 改为条件收敛，结论如何？
  2. 设对任意 A>aA>a，g(x)∈R([a,A])g(x)\in R([a,A])，且 g(x)g(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上有界。若 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛，试问 ∫a+∞f(x)g(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx 是否收敛？

习题 9.3 在源提交中没有可辨认的书面作答。

习题 9.4

习题 9.4 · 第 1 题（第 1、4、6 小题）

计算：

  1. ∫0adxa−x\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{a-x}}；
  2. ∫−11∣x∣(2−x2)1−x2 dx\displaystyle\int_{-1}^1\frac{|x|}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx；
  3. ∫01xmln⁡nx dx\displaystyle\int_0^1x^m\ln^n x\,dx。
查看手写提交与批注

第 1 小题提交为

2a,2\sqrt a,

旁有红色对勾。

第 4 小题利用偶函数对称性，再令 t=1−x2t=\sqrt{1-x^2}，提交结果为

π2.\frac\pi2.

换元中间一步被红笔改写，末值保留。

第 6 小题连续分部积分，提交为

(−1)nn!(m+1)n+1,\frac{(-1)^n n!}{(m+1)^{n+1}},

旁有红色对勾。稿中没有另写参数取值条件。

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