第 14 周作业 · 定积分的几何应用

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次教材作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 8.1

习题 8.1 · 第 3 题

已知 $y^2=2px$ 和 $x^2+y^2=2Rx$ 交于 $O,A,B$ 三点。求 $p$，使由 $y^2=2px$ 与弦 $\overline{AB}$ 所围图形的面积达到最大，并求其最大值。

习题 8.1 · 第 5 题

计算星形线

$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$

所围图形的面积。

习题 8.1 · 第 7 题

求双纽线

$$r^2=a^2\cos2\theta$$

所围图形的面积。

习题 8.2

习题 8.2 · 第 1 题

求由曲线 $y=x$ 和 $y=x^2$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

习题 8.2 · 第 3 题

求由旋轮线

$$\begin{cases} x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t), \end{cases} \qquad 0\leq t\leq2\pi,\quad a>0$$

与 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。

习题 8.2 · 第 5 题

求由 $(x-2)^2+y^2=1$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体的体积。

习题 8.2 · 第 7 题

过坐标原点 $(0,0)$ 作曲线 $y=\ln x$ 的切线。该切线与曲线 $y=\ln x$ 以及 $x$ 轴所围成的平面图形记为 $D$，计算 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

习题 8.2 · 第 10 题（第 2、4 小题）

求下列平面曲线绕指定轴旋转一周所得旋转曲面的面积：

1. $y=\sqrt{3-x^2}$，$-1\leq x\leq1$，绕 $x$ 轴；
2. $x^2=4y$，$0\leq x\leq2$，绕 $y$ 轴。

习题 8.2 · 第 12 题

求旋轮线（摆线）的一拱

$$\begin{cases} x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t), \end{cases} \qquad 0\leq t\leq2\pi$$

绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。

习题 8.3

习题 8.3 · 第 1 题（第 1、3 小题）

求下列曲线的弧长：

1. 旋轮线 $x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$，$0\leq t\leq2\pi$，$a>0$；
2. 曲线 $y=\ln\cos x$，$x\in\left[0,\dfrac\pi3\right]$。

习题 8.3 · 第 2 题

求下列曲线在指定点的曲率：

1. $xy=1$，在点 $(1,1)$；
2. 摆线 $x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$，$a>0$，在参数 $t=\dfrac\pi2$ 所对应的点。

习题 8.3 · 第 3 题（第 1、3 小题）

求下列曲线的曲率与曲率半径：

1. 抛物线 $x^2=2py$，其中 $p>0$；
2. 双纽线 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$，其中 $a>0$。