第 15 周作业 · 广义积分

#作业

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次教材作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 9.1

习题 9.1 · 第 1 题（第 3、5、7、10 小题）

计算下列广义积分：

  1. ∫0+∞dxx4+a4\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^4+a^4}；
  2. ∫0+∞xln⁡x(1+x2)2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx；
  3. ∫0+∞dx1+x3\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^3}；
  4. ∫0+∞e−axsin⁡bx dx\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin bx\,dx，其中 a>0a>0，b≠0b\neq0。

习题 9.1 · 第 3 题

求 cc 的值，使广义积分

∫0+∞(2xx2+1−c2x+1)dx\int_0^{+\infty}\left(\frac{2x}{x^2+1}-\frac{c}{2x+1}\right)dx

收敛，并求出广义积分的值。

习题 9.1 · 第 6 题

设 f(x)f(x) 是区间 [a,+∞)[a,+\infty) 上的连续函数，且 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。证明：存在数列 {xn}\{x_n\}，使得

lim⁡n→∞xn=+∞,lim⁡n→∞f(xn)=0.\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty, \qquad \lim_{n\to\infty}f(x_n)=0.

习题 9.2

习题 9.2 · 第 1 题（第 1、3、7 小题）

判定下列广义积分的敛散性：

  1. ∫1+∞x1+x2 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx；
  2. ∫1+∞dx1+x∣sin⁡x∣\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x|\sin x|}；
  3. ∫0+∞arctan⁡x1+xp dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{1+x^p}\,dx。

习题 9.2 · 第 2 题

设 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛，是否一定有 lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0？证明：当 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛时，如果存在实数 bb 使得 lim⁡x→+∞f(x)=b\lim_{x\to+\infty}f(x)=b，那么必有 b=0b=0。

习题 9.2 · 第 4 题

设对任意 A>aA>a，函数 f(x),g(x),h(x)f(x),g(x),h(x) 都在 [a,A][a,A] 上可积，且对任意 x∈[a,+∞)x\in[a,+\infty) 有

g(x)≤f(x)≤h(x).g(x)\leq f(x)\leq h(x).

证明：当 ∫a+∞g(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\,dx 和 ∫a+∞h(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}h(x)\,dx 都收敛时，∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 必收敛。

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