第 11 周作业 · 积分技巧

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次教材作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 6.2

习题 6.2 · 第 2 题

应用分部积分法求下列不定积分：

1. $\displaystyle\int\arcsin x\,dx$；
2. $\displaystyle\int\ln(1+x)\,dx$；
3. $\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x^2}\arctan x\,dx$；
4. $\displaystyle\int x^2\sin x\,dx$；
5. $\displaystyle\int x^2e^{-x}\,dx$；
6. $\displaystyle\int e^{\sqrt[3]x}\,dx$；
7. $\displaystyle\int\frac1{1+\sqrt[3]{x+1}}\,dx$；
8. $\displaystyle\int\frac1{x(2+x^{10})}\,dx$；
9. $\displaystyle\int\frac1{x\sqrt{1+x^4}}\,dx$。

习题 6.2 · 第 3 题

已知 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的原函数，求

$$\int x f'(x)\,dx.$$

习题 6.2 · 第 4 题（第 8、9、10、11、13、15、18、20 小题）

计算下列不定积分：

1. $\displaystyle\int(x^2+a^2)^{3/2}\,dx$；
2. $\displaystyle\int x\arcsin\frac xa\,dx$；
3. $\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx$；
4. $\displaystyle\int(\arcsin x)^2\,dx$；
5. $\displaystyle\int\frac1{\sqrt{x-x^2}}\,dx$；
6. $\displaystyle\int\frac1{\sin x\cos^3x}\,dx$；
7. $\displaystyle\int\sqrt x\ln^2x\,dx$；
8. $\displaystyle\int x\cos\sqrt x\,dx$。

习题 6.3

习题 6.3 · 第 1 题（第 1、3、5、7、9、11 小题）

计算下列不定积分：

1. $\displaystyle\int\frac1{x^2\sqrt{a^2-x^2}}\,dx$，其中 $a>0$；
2. $\displaystyle\int\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$；
3. $\displaystyle\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1}\,dx$；
4. $\displaystyle\int\frac1{1+\tan x}\,dx$；
5. $\displaystyle\int\frac1{1+x^4}\,dx$；
6. $\displaystyle\int\frac1{x^{11}+2x}\,dx$。

习题 6.3 · 第 2 题

计算下列不定积分：

1. $\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}$；
2. $\displaystyle\int\frac{dx}{2+\sin x}$；
3. $\displaystyle\int\frac{x+2}{x^2\sqrt{1-x^2}}\,dx$；
4. $\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2\sqrt{x^2-1}}\,dx$；
5. $\displaystyle\int\frac{1-\sqrt{x+2}}{1+\sqrt[3]{x+2}}\,dx$；
6. $\displaystyle\int\frac1{\sqrt[3]{(x-2)^2(x+1)}}\,dx$。