第 10 周作业 · 不定积分

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#作业

本篇按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 6.1

习题 6.1 · 第 2 题（第 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20 小题）

求下列不定积分：

  1. ∫(ex−2sin⁡x+2xx) dx\displaystyle\int(e^x-2\sin x+2x\sqrt x)\,dx；
  2. ∫tan⁡2x dx\displaystyle\int\tan^2x\,dx；
  3. ∫cos⁡2xcos⁡2xsin⁡2x dx\displaystyle\int\frac{\cos2x}{\cos^2x\sin^2x}\,dx；
  4. ∫sec⁡x(sec⁡x+tan⁡x) dx\displaystyle\int\sec x(\sec x+\tan x)\,dx；
  5. ∫e3x−1ex−1 dx\displaystyle\int\frac{e^{3x}-1}{e^x-1}\,dx；
  6. ∫∣x∣ dx\displaystyle\int|x|\,dx；
  7. ∫1ex−1 dx\displaystyle\int\frac1{e^x-1}\,dx；
  8. ∫sin⁡2xcos⁡3x dx\displaystyle\int\sin2x\cos3x\,dx；
  9. ∫(x−x)3 dx\displaystyle\int(x-\sqrt x)^3\,dx；
  10. ∫11+cos⁡2x dx\displaystyle\int\frac1{1+\cos2x}\,dx。

习题 6.2

习题 6.2 · 第 1 题（第 1、3、4、6、7、8、9、10 小题）

应用换元积分法求下列不定积分：

  1. ∫e2x+1 dx\displaystyle\int e^{2x+1}\,dx；
  2. ∫11−sin⁡x dx\displaystyle\int\frac1{1-\sin x}\,dx；
  3. ∫2x+4(x2+4x+5)2 dx\displaystyle\int\frac{2x+4}{(x^2+4x+5)^2}\,dx；
  4. ∫15−3x3 dx\displaystyle\int\frac1{\sqrt[3]{5-3x}}\,dx；
  5. ∫1xln⁡xln⁡(ln⁡x) dx\displaystyle\int\frac1{x\ln x\ln(\ln x)}\,dx；
  6. ∫1ex+e−x dx\displaystyle\int\frac1{e^x+e^{-x}}\,dx；
  7. ∫sin⁡2xcos⁡3x dx\displaystyle\int\sin2x\cos3x\,dx；
  8. ∫arctan⁡xx(1+x) dx\displaystyle\int\frac{\arctan\sqrt x}{\sqrt x(1+x)}\,dx。

习题 6.2 · 第 4 题（第 2、3、14、17 小题）

计算下列不定积分，其中 a,ba,b 均为非零常数：

  1. ∫x2ax+b dx\displaystyle\int\frac{x^2}{ax+b}\,dx；
  2. ∫1x(ax+b) dx\displaystyle\int\frac1{x(ax+b)}\,dx；
  3. ∫ln⁡(x+1+x2)1+x2 dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}\,dx；
  4. ∫x1−x3 dx\displaystyle\int x\sqrt[3]{1-x}\,dx。

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