第 12 周作业 · 黎曼积分

#作业

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次教材作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 7.1

习题 7.1 · 第 1 题（第 2、3 小题）

利用定积分的定义计算下列积分：

  1. ∫01x dx\displaystyle\int_0^1x\,dx；
  2. ∫ab1x2 dx\displaystyle\int_a^b\frac1{x^2}\,dx，其中 b>a>0b>a>0。

习题 7.1 · 第 2 题

利用定积分的几何意义，计算下列积分：

  1. ∫−111−x2 dx\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx；
  2. ∫ab(x−a+b2)dx\displaystyle\int_a^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right)dx。

习题 7.2

习题 7.2 · 第 2 题

证明下列函数在给定区间上可积：

  1. 设 f(x)f(x) 是 [a,b][a,b] 上的有界函数，其不连续点为 xnx_n（n=1,2,…n=1,2,\ldots），且 lim⁡n→∞xn=c\lim_{n\to\infty}x_n=c。证明 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上可积；

  2. 证明函数

    f(x)={0,x=0,1n,1n+1<x≤1nf(x)= \begin{cases} 0,&x=0,\\ \dfrac1n,&\dfrac1{n+1}<x\leq\dfrac1n \end{cases}

    在 [0,1][0,1] 上可积；

  3. 证明 sgn⁡ ⁣(sin⁡πx)\operatorname{sgn}\!\left(\sin\dfrac{\pi}{x}\right) 在 [0,1][0,1] 上可积。

习题 7.2 · 第 4 题

设 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续且非负。证明：若

∫abf(x) dx=0,\int_a^b f(x)\,dx=0,

则 f(x)≡0f(x)\equiv0。

习题 7.2 · 第 5 题（第 2、3 小题）

不通过计算积分值，比较下列各组积分的大小：

  1. ∫0π/2x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\,dx 与 ∫0π/2sin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx；
  2. ∫01e−x dx\displaystyle\int_0^1e^{-x}\,dx 与 ∫01e−x2 dx\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}\,dx。

习题 7.2 · 第 7 题（第 1、2、4 小题）

求下列极限：

  1. lim⁡n→∞∫01xn1+x dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx；
  2. lim⁡n→∞∫0π/2sin⁡nx dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx；
  3. lim⁡n→∞∫nn+1cos⁡xx dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_n^{n+1}\frac{\cos x}{x}\,dx。

习题 7.2 · 第 8 题（第 1、3 小题）

证明下列不等式：

  1. π2<∫0π/2dx1−12sin⁡2x<π2\displaystyle\frac\pi2<\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac12\sin^2x}}<\frac\pi{\sqrt2}；

  2. 2π<∫01f(x) dx<1\displaystyle\frac2\pi<\int_0^1f(x)\,dx<1，其中

    f(x)={1,x=0,sin⁡xx,0<x≤1.f(x)= \begin{cases} 1,&x=0,\\ \dfrac{\sin x}{x},&0<x\leq1. \end{cases}

习题 7.2 · 第 9 题

设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续且单调递减。证明对任意 β∈[0,1]\beta\in[0,1]，都有

∫0βf(x) dx≥β∫01f(x) dx.\int_0^\beta f(x)\,dx\geq\beta\int_0^1f(x)\,dx.

习题 7.2 · 第 10 题

设函数 f(x),g(x)f(x),g(x) 在 [a,b][a,b] 上可积，且 f(x),g(x)f(x),g(x) 仅在有限个点处不相等。证明

∫abf(x) dx=∫abg(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b g(x)\,dx.

习题 7.2 · 第 11 题

证明下列不等式：

  1. 设 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上可积，则

    (∫abf(x)sin⁡x dx)2+(∫abf(x)cos⁡x dx)2≤(b−a)∫abf2(x) dx;\left(\int_a^bf(x)\sin x\,dx\right)^2+ \left(\int_a^bf(x)\cos x\,dx\right)^2 \leq(b-a)\int_a^bf^2(x)\,dx;

  2. 设 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上可积且非负，则

    (∫abf(x)sin⁡nx dx)2+(∫abf(x)cos⁡nx dx)2≤(∫abf(x) dx)2.\left(\int_a^bf(x)\sin nx\,dx\right)^2+ \left(\int_a^bf(x)\cos nx\,dx\right)^2 \leq\left(\int_a^bf(x)\,dx\right)^2.

评论