第 9 讲：广义积分

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通常的定积分要求有限区间和有界被积函数。广义积分通过取极限，把“区间无限长”或“函数在某点无界”的情形纳入积分。

无穷区间上的积分

定义

∫a∞f(x) dx=lim⁡A→∞∫aAf(x) dx.\int_a^\infty f(x)\,dx =\lim_{A\to\infty}\int_a^Af(x)\,dx.

右侧极限有限时称收敛，否则发散。

双向无穷区间必须选任意固定的 cc 拆开：

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx.\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{-\infty}^cf(x)\,dx +\int_c^\infty f(x)\,dx.

两边都收敛才算收敛。不能只算对称极限

lim⁡A→∞∫−AAf(x) dx,\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^Af(x)\,dx,

因为那得到的可能只是 Cauchy 主值。例如 ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx 的对称截断恒为 00，但两侧积分都发散。

瑕积分

若 ff 在 aa 附近无界：

∫abf(x) dx=lim⁡ε→0+∫a+εbf(x) dx.\int_a^bf(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+} \int_{a+\varepsilon}^bf(x)\,dx.

若内部点 c∈(a,b)c\in(a,b) 是瑕点，则必须拆开：

∫abf=∫acf+∫cbf.\int_a^bf =\int_a^cf+\int_c^bf.

两段极限独立存在才收敛，不能让两个发散量相互抵消。

两个 pp 型基准

无穷远：

∫1∞dxxp{收敛,p>1,发散,p≤1.\int_1^\infty\frac{dx}{x^p} \begin{cases} \text{收敛},&p>1,\\ \text{发散},&p\le1. \end{cases}

零点附近：

∫01dxxp{收敛,p<1,发散,p≥1.\int_0^1\frac{dx}{x^p} \begin{cases} \text{收敛},&p<1,\\ \text{发散},&p\ge1. \end{cases}

同一个 pp 在两个位置的临界方向相反。判断前先说清是在无穷远还是瑕点附近。

非负函数的比较判别

若充分大的 xx 上

0≤f(x)≤g(x),0\le f(x)\le g(x),

则：

  • ∫g\int g 收敛可推出 ∫f\int f 收敛；
  • ∫f\int f 发散可推出 ∫g\int g 发散。

比较判别的极限形式：若 f,g≥0f,g\ge0 且

lim⁡x→∞f(x)g(x)=L,0<L<∞,\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<L<\infty,

则二者同敛散。

若 L=0L=0，只能在 ∫g\int g 收敛时推出 ∫f\int f 收敛；若 L=∞L=\infty，只能在 ∫g\int g 发散时推出 ∫f\int f 发散。不要把这两种情况也写成“同敛散”。

例如

1x2+1∼1x2(x→∞),\frac1{x^2+1}\sim\frac1{x^2} \qquad(x\to\infty),

故

∫1∞dxx2+1\int_1^\infty\frac{dx}{x^2+1}

收敛。

Cauchy 收敛准则

无穷积分收敛，当且仅当对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 AA，使任意 v>u>Av>u>A 都有

∣∫uvf(x) dx∣<ε.\left|\int_u^vf(x)\,dx\right|<\varepsilon.

它表达“足够远处的尾积分可以任意小”，不需要提前知道积分值。

瑕积分也有对应的局部版本：充分靠近瑕点的任意小区间积分都应足够小。

绝对收敛与条件收敛

若

∫a∞∣f(x)∣ dx\int_a^\infty|f(x)|\,dx

收敛，则

∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx

收敛，称绝对收敛。

若原积分收敛但绝对值积分发散，称条件收敛。经典例子：

∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx

条件收敛。

判断变号函数时通常先看绝对值：

  • 若绝对值积分收敛，问题结束；
  • 若绝对值积分发散，原积分仍可能因振荡而条件收敛。

Dirichlet 与 Abel 判别

积分版 Dirichlet 判别：若

F(A)=∫aAf(x) dxF(A)=\int_a^Af(x)\,dx

有界，而 g(x)g(x) 单调趋于 00，则

∫a∞f(x)g(x) dx\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

收敛。

例如 ∫aAsin⁡x dx\int_a^A\sin x\,dx 有界，1/x1/x 单调趋零，所以

∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx

收敛。

Abel 判别：若 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 收敛，gg 单调且有界，则

∫a∞f(x)g(x) dx\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

收敛。

两者都可由分部积分理解：一个因子提供“累计有界”，另一个因子的变化总量可控。

瑕点附近的等价比较

若 x→a+x\to a^+ 时

f(x)∼C(x−a)p,C>0,f(x)\sim\frac{C}{(x-a)^p}, \qquad C>0,

则

∫abf(x) dx\int_a^bf(x)\,dx

与 pp 型瑕积分同敛散：

  • p<1p<1 收敛；
  • p≥1p\ge1 发散。

内部有多个瑕点时逐个检查，每个都通过才算整体收敛。

Gamma 与 Beta 函数

Gamma 函数定义为

Γ(s)=∫0∞xs−1e−x dx,s>0.\Gamma(s) =\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx, \qquad s>0.

分部积分得到递推：

Γ(s+1)=sΓ(s).\Gamma(s+1)=s\Gamma(s).

特别地

Γ(n+1)=n!,Γ(12)=π.\Gamma(n+1)=n!,\qquad \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi.

Beta 函数定义为

B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1 dx,p,q>0.B(p,q) =\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx, \qquad p,q>0.

它满足

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q).B(p,q) =\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)} {\Gamma(p+q)}.

课程中重点不是背特殊函数表，而是理解它们本身也是广义积分，参数范围来自两个端点的敛散条件。

易错点

  • 先找所有无穷端点和瑕点，再分段定义。
  • 广义积分的 Newton-Leibniz 计算最后必须写极限。
  • 对称主值存在不等于广义积分收敛。
  • 比较判别方向只对非负函数直接成立。
  • 条件收敛不允许把绝对值随意移入移出。
  • pp 型在无穷远与零点附近的临界方向相反。

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