第 9 讲：广义积分

通常的定积分要求有限区间和有界被积函数。广义积分通过取极限，把“区间无限长”或“函数在某点无界”的情形纳入积分。

无穷区间上的积分

定义

$$\int_a^\infty f(x)\,dx =\lim_{A\to\infty}\int_a^Af(x)\,dx.$$

右侧极限有限时称收敛，否则发散。

双向无穷区间必须选任意固定的 $c$ 拆开：

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{-\infty}^cf(x)\,dx +\int_c^\infty f(x)\,dx.$$

两边都收敛才算收敛。不能只算对称极限

$$\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^Af(x)\,dx,$$

因为那得到的可能只是 Cauchy 主值。例如 $\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx$ 的对称截断恒为 $0$，但两侧积分都发散。

瑕积分

若 $f$ 在 $a$ 附近无界：

$$\int_a^bf(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+} \int_{a+\varepsilon}^bf(x)\,dx.$$

若内部点 $c\in(a,b)$ 是瑕点，则必须拆开：

$$\int_a^bf =\int_a^cf+\int_c^bf.$$

两段极限独立存在才收敛，不能让两个发散量相互抵消。

两个 $p$ 型基准

无穷远：

$$\int_1^\infty\frac{dx}{x^p} \begin{cases} \text{收敛},&p>1,\\ \text{发散},&p\le1. \end{cases}$$

零点附近：

$$\int_0^1\frac{dx}{x^p} \begin{cases} \text{收敛},&p<1,\\ \text{发散},&p\ge1. \end{cases}$$

同一个 $p$ 在两个位置的临界方向相反。判断前先说清是在无穷远还是瑕点附近。

非负函数的比较判别

若充分大的 $x$ 上

$$0\le f(x)\le g(x),$$

则：

• $\int g$ 收敛可推出 $\int f$ 收敛；
• $\int f$ 发散可推出 $\int g$ 发散。

比较判别的极限形式：若 $f,g\ge0$ 且

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<L<\infty,$$

则二者同敛散。

若 $L=0$，只能在 $\int g$ 收敛时推出 $\int f$ 收敛；若 $L=\infty$，只能在 $\int g$ 发散时推出 $\int f$ 发散。不要把这两种情况也写成“同敛散”。

例如

$$\frac1{x^2+1}\sim\frac1{x^2} \qquad(x\to\infty),$$

故

$$\int_1^\infty\frac{dx}{x^2+1}$$

收敛。

Cauchy 收敛准则

无穷积分收敛，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A$，使任意 $v>u>A$ 都有

$$\left|\int_u^vf(x)\,dx\right|<\varepsilon.$$

它表达“足够远处的尾积分可以任意小”，不需要提前知道积分值。

瑕积分也有对应的局部版本：充分靠近瑕点的任意小区间积分都应足够小。

绝对收敛与条件收敛

若

$$\int_a^\infty|f(x)|\,dx$$

收敛，则

$$\int_a^\infty f(x)\,dx$$

收敛，称绝对收敛。

若原积分收敛但绝对值积分发散，称条件收敛。经典例子：

$$\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx$$

条件收敛。

判断变号函数时通常先看绝对值：

• 若绝对值积分收敛，问题结束；
• 若绝对值积分发散，原积分仍可能因振荡而条件收敛。

Dirichlet 与 Abel 判别

积分版 Dirichlet 判别：若

$$F(A)=\int_a^Af(x)\,dx$$

有界，而 $g(x)$ 单调趋于 $0$，则

$$\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx$$

收敛。

例如 $\int_a^A\sin x\,dx$ 有界，$1/x$ 单调趋零，所以

$$\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx$$

收敛。

Abel 判别：若 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 收敛，$g$ 单调且有界，则

$$\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx$$

收敛。

两者都可由分部积分理解：一个因子提供“累计有界”，另一个因子的变化总量可控。

瑕点附近的等价比较

若 $x\to a^+$ 时

$$f(x)\sim\frac{C}{(x-a)^p}, \qquad C>0,$$

则

$$\int_a^bf(x)\,dx$$

与 $p$ 型瑕积分同敛散：

• $p<1$ 收敛；
• $p\ge1$ 发散。

内部有多个瑕点时逐个检查，每个都通过才算整体收敛。

Gamma 与 Beta 函数

Gamma 函数定义为

$$\Gamma(s) =\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx, \qquad s>0.$$

分部积分得到递推：

$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s).$$

特别地

$$\Gamma(n+1)=n!,\qquad \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi.$$

Beta 函数定义为

$$B(p,q) =\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx, \qquad p,q>0.$$

它满足

$$B(p,q) =\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)} {\Gamma(p+q)}.$$

课程中重点不是背特殊函数表，而是理解它们本身也是广义积分，参数范围来自两个端点的敛散条件。

易错点

• 先找所有无穷端点和瑕点，再分段定义。
• 广义积分的 Newton-Leibniz 计算最后必须写极限。
• 对称主值存在不等于广义积分收敛。
• 比较判别方向只对非负函数直接成立。
• 条件收敛不允许把绝对值随意移入移出。
• $p$ 型在无穷远与零点附近的临界方向相反。