第 10 讲：常微分方程

微分方程不是直接告诉我们未知函数，而是告诉函数和它的导数之间应满足什么关系。解题的第一步不是积分，而是识别方程类型。

基本概念

含未知函数及其导数的方程叫微分方程。未知函数只有一个自变量时称常微分方程。

方程中出现的最高阶导数阶数叫方程的阶。例如

y''+2y'-3y=e^x

是二阶线性非齐次常微分方程。

能使方程成为恒等式的函数叫解。含有足够多个任意常数、描述一族解的表达式叫通解；给定初值后确定常数，得到特解。

$n$ 阶方程通常需要 $n$ 个独立初始条件，例如

y(x_0)=y_0,\qquad y'(x_0)=y_1.

解出后应代回原方程，并核对定义区间。

可分离变量方程

若

\frac{dy}{dx}=f(x)g(y),

且暂时假设 $g(y)\ne0$ ，可写为

\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx.

两边积分：

\int\frac{dy}{g(y)} =\int f(x)\,dx.

不要漏掉常值解

分离时除以 $g(y)$ ，会丢掉满足 $g(y)=0$ 的常值解。因此标准步骤是：

先解 $g(y)=0$ ，记录常值解；
再在 $g(y)\ne0$ 的分支上分离变量。

例：

y'=y(1-y).

常值解有 $y=0$ 、 $y=1$ 。非平衡解满足

\frac{dy}{y(1-y)}=dx,

积分得

\ln\left|\frac{y}{1-y}\right|=x+C.

齐次一阶方程

形如

y'=F\left(\frac yx\right)

的方程令

u=\frac yx,\qquad y=ux,

则

y'=u+xu'.

代入后通常可分离变量。

这里的“齐次”指右端只依赖 $y/x$ ，与线性方程中右端为零的“齐次”不是同一个概念。

若方程形如

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0

且 $M,N$ 是同次齐次函数，也可用 $y=ux$ 或 $x=vy$ 。

一阶线性方程

标准形式：

y'+P(x)y=Q(x).

取积分因子

\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.

乘到方程两边：

\mu y'+\mu Py=\mu Q.

由于 $\mu'=\mu P$ ，左边变成

(\mu y)'=\mu Q.

积分得到

y=e^{-\int P\,dx} \left(C+\int Qe^{\int P\,dx}\,dx\right).

公式不必死背，只要记住“选积分因子，使左边凑成乘积导数”。

例如

y'+\frac1xy=x,\qquad x>0.

积分因子

\mu=e^{\int dx/x}=x.

于是

(xy)'=x^2,

y=\frac{x^2}{3}+\frac Cx.

Bernoulli 方程

y'+P(x)y=Q(x)y^\alpha, \qquad \alpha\ne0,1.

令

z=y^{1-\alpha}.

将原式乘以 $y^{-\alpha}$ 后，利用

z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'

可化成关于 $z$ 的一阶线性方程。

同样要检查 $y=0$ 是否为被变换除法丢掉的解。

二阶线性方程解的结构

一般二阶线性方程：

y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x).

对应齐次方程为

y''+P(x)y'+Q(x)y=0.

若 $y_1,y_2$ 是两个线性无关的齐次解，则齐次通解为

y_h=C_1y_1+C_2y_2.

若 $y_p$ 是非齐次方程的一个特解，则非齐次通解为

y=y_h+y_p.

原因是任意两个非齐次特解之差必满足齐次方程。

右端可分成 $f_1+f_2$ 时，可分别找特解 $y_{p1},y_{p2}$ ，再相加。这是线性方程的叠加原理。

二阶常系数齐次方程

y''+py'+qy=0.

试探 $y=e^{rx}$ ，得到特征方程

r^2+pr+q=0.

两个不同实根

若根为 $r_1\ne r_2$ ：

y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.

重实根

若有二重根 $r$ ：

y=(C_1+C_2x)e^{rx}.

第二个解多出的 $x$ 保证线性无关。

共轭复根

若根为

r=\alpha\pm i\beta,

则实通解为

y=e^{\alpha x} \left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right).

二阶常系数非齐次方程

y''+py'+qy=f(x).

先求齐次通解，再找一个特解。

待定系数法

当右端是

e^{\lambda x}P_m(x)

或

e^{\lambda x} \left(P_m(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x\right)

时，特解试探式保持同类形式。

若试探式与齐次解重复，就乘 $x^s$ ，其中 $s$ 是对应特征根的重数。

例如

y''-2y'+y=e^x.

特征方程 $(r-1)^2=0$ ， $e^x$ 已对应二重根，因此不能试 $Ae^x$ ，而应试

y_p=Ax^2e^x.

右端为和

若

f=f_1+f_2,

分别找 $y_{p1}$ 、 $y_{p2}$ ，则

y_p=y_{p1}+y_{p2}.

不要把每个特解各自的任意常数带入；任意常数只属于齐次通解。

初值问题

得到通解后代入初始条件解 $C_1,C_2$ 。例如

y''+y=0,\qquad y(0)=1,\ y'(0)=0.

通解

y=C_1\cos x+C_2\sin x.

由初值得 $C_1=1,C_2=0$ ，所以

y=\cos x.

分类清单

看到一阶方程先问：

能否写成 $f(x)g(y)$ ？可分离变量。
是否只依赖 $y/x$ ？令 $y=ux$ 。
是否是 $y'+Py=Q$ ？一阶线性。
是否是 $y'+Py=Qy^\alpha$ ？Bernoulli。

看到二阶常系数线性方程：

先解特征方程得到齐次通解；
根据右端选特解形式；
检查是否与齐次解重复；
最后代初值。

易错点

分离变量前忘记检查被除掉的零点解。
积分后漏任意常数。
一阶线性方程没有先化成 $y'+Py=Q$ 的标准形式。
把一阶“齐次型”和线性齐次方程混为一谈。
待定系数试探式与齐次解重复却没乘 $x$ 。
通解算完不代回检查，导致定义域、符号或系数错误。