第 8 讲：定积分的几何与物理应用

这一章的公式很多，但来源只有一个：把总量切成可加的小量，先写出局部近似 $dU$，再积分。

微元法的三步

如果所求总量 $U$ 对区间具有可加性：

1. 选积分变量和变化区间；

2. 在 $[x,x+dx]$ 上写出小量 $dU=f(x)\,dx$；

3. 在整个区间累加：

   $$U=\int_a^bf(x)\,dx.$$

困难通常不在积分，而在 $dU$ 的建模。应先画图、确定小片的几何意义和正负，再写积分。

平面图形面积

直角坐标

若区域满足

$$a\le x\le b,\qquad f_1(x)\le y\le f_2(x),$$

则竖条面积微元为

$$dA=[f_2(x)-f_1(x)]\,dx,$$

所以

$$A=\int_a^b[f_2(x)-f_1(x)]\,dx.$$

若横向切片更简单，可写

$$A=\int_c^d [\text{右边界}-\text{左边界}]\,dy.$$

积分前要找曲线交点。若“上、下”或“左、右”关系在区间中改变，应分段积分。

极坐标

由两条射线 $\theta=\alpha,\theta=\beta$ 和曲线 $r=r(\theta)$ 围成的面积：

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta.$$

两条极坐标曲线之间：

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \left[r_{\text{外}}^2(\theta) -r_{\text{内}}^2(\theta)\right]\,d\theta.$$

极坐标图形常重复描绘，积分区间必须按“恰好扫过一次区域”来确定。

立体体积

若垂直于 $x$ 轴的截面面积为 $A(x)$：

$$V=\int_a^bA(x)\,dx.$$

圆盘和圆环

区域绕 $x$ 轴旋转，外半径 $R(x)$、内半径 $r(x)$：

$$dV=\pi\left[R^2(x)-r^2(x)\right]dx,$$ $$V=\pi\int_a^b \left[R^2(x)-r^2(x)\right]dx.$$

若没有空腔，令 $r=0$。

柱壳法

若竖条绕 $y$ 轴旋转，半径为 $x$、高度为 $h(x)$：

$$dV=2\pi xh(x)\,dx.$$

圆盘法与柱壳法都正确，选择能避免求反函数或复杂分段的方向。

旋转曲面面积

曲线 $y=f(x)\ge0$ 绕 $x$ 轴旋转：

$$dS=2\pi f(x)\,ds,$$

而

$$ds=\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.$$

故

$$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.$$

曲线绕 $y$ 轴旋转时，半径改为 $|x|$：

$$S=2\pi\int_a^b |x|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.$$

面积公式中的半径不能为负，因此必要时加绝对值。

平面曲线弧长

直角坐标曲线 $y=f(x)$：

$$L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.$$

参数曲线 $x=x(t),y=y(t)$：

$$L=\int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt.$$

极坐标曲线 $r=r(\theta)$：

$$L=\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}\,d\theta.$$

弧长是非负几何量。参数方向反转时，必要时交换积分上下限或取绝对值。

曲率

曲率衡量切线方向改变的快慢：

$$\kappa=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|.$$

对 $y=f(x)$：

$$\kappa =\frac{|f''(x)|} {\left(1+[f'(x)]^2\right)^{3/2}}.$$

曲率半径为

$$\rho=\frac1\kappa.$$

参数曲线：

$$\kappa =\frac{|x'y''-y'x''|} {\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}.$$

直线的曲率为 $0$；半径为 $R$ 的圆的曲率为 $1/R$。

液体压力

静止液体在深度 $h$ 处压强为

$$p=\rho gh.$$

竖直平板上不同高度压强不同。取水平窄条，若该深度处宽度为 $w(y)$：

$$dP=\rho g\,h(y)\,w(y)\,dy,$$

所以

$$P=\int \rho g\,h(y)\,w(y)\,dy.$$

坐标原点若放在液面，深度通常是 $-y$ 或液面高度减去 $y$，不能直接把坐标值当深度。

变力做功

一维运动中，位置 $x$ 处受力 $F(x)$：

$$dW=F(x)\,dx,$$ $$W=\int_a^bF(x)\,dx.$$

力与位移方向相反时功为负。弹簧满足 Hooke 定律 $F=kx$，从 $x=a$ 拉到 $x=b$ 的功为

$$W=\frac k2(b^2-a^2).$$

质量、重心和转动惯量

线密度为 $\lambda(x)$ 的细杆：

$$dm=\lambda(x)\,dx,$$ $$m=\int_a^b\lambda(x)\,dx.$$

重心坐标：

$$\bar x =\frac{\int_a^bx\lambda(x)\,dx} {\int_a^b\lambda(x)\,dx}.$$

关于原点的转动惯量：

$$I=\int_a^bx^2\lambda(x)\,dx.$$

平面薄片则把 $dm$ 写成面密度乘面积微元。公式的共同结构都是

$$\text{总量}=\int \text{局部权重}\,dm.$$

建模时的检查

• 所求量是否可加？
• 积分变量覆盖区域一次还是重复覆盖？
• 面积、体积、弧长、质量应为非负，是否出现错误符号？
• 旋转半径是谁到旋转轴的距离？
• 曲线交点或边界关系是否要求分段？
• 物理量单位是否正确？例如压力积分后应为力的单位。

先写微元和区间，再做积分，能显著减少“积分算对但模型建错”的情况。