第 5 讲：微分与 Taylor 公式

Taylor 公式把一个足够光滑的函数在某点附近改写成“多项式 + 误差”。极限计算、近似计算和许多不等式证明因此统一起来。

微分是函数增量的主要线性部分

设

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$$

若存在与 $\Delta x$ 无关的 $A$，使

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),$$

则称 $f$ 在 $x$ 可微，并定义

$$dy=A\,dx,\qquad dx=\Delta x.$$

事实上 $A=f'(x)$，所以

$$dy=f'(x)\,dx.$$

这说明可微和可导在一元函数中等价，而微分 $dy$ 是实际增量 $\Delta y$ 的主要线性部分：

$$\Delta y=dy+o(\Delta x).$$

例如 $y=\sqrt x$，在 $x=4$ 附近

$$\sqrt{4+\Delta x} \approx 2+\frac14\Delta x.$$

取 $\Delta x=0.04$，得

$$\sqrt{4.04}\approx2.01.$$

微分的形式不变性

若 $y=f(u)$、$u=g(x)$，则

$$dy=f'(u)\,du,\qquad du=g'(x)\,dx,$$

从而

$$dy=f'(g(x))g'(x)\,dx.$$

无论 $u$ 是自变量还是中间变量，$dy=f'(u)\,du$ 的形式不变。这正是换元积分法可以工作的原因之一。

高阶微分在自变量 $x$ 时可记为

$$d^ny=f^{(n)}(x)\,dx^n.$$

若中间变量本身不是线性函数，高阶微分不再简单保持同样形式，不能把一阶微分的直觉机械推广。

Taylor 多项式从哪里来

希望用 $n$ 次多项式

$$P_n(x) =a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n$$

在 $x_0$ 附近逼近 $f$。要求 $P_n$ 与 $f$ 在 $x_0$ 处的函数值和前 $n$ 阶导数都相同，便得到

$$a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}.$$

因此 Taylor 多项式为

$$T_n(x) =\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.$$

$x_0=0$ 时称为 Maclaurin 展开。

带 Peano 余项的 Taylor 公式

若 $f$ 在 $x_0$ 具有 $n$ 阶导数，则

$$f(x) =\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +o\bigl((x-x_0)^n\bigr).$$

Peano 余项只描述误差相对 $(x-x_0)^n$ 更高阶，适合求局部极限和比较无穷小。

例如

$$\ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$

于是

$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)-x+x^2/2}{x^3} =\frac13.$$

展开时必须一直写到第一个没有被抵消的项。

带 Lagrange 余项的 Taylor 公式

若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有足够阶的连续导数，则存在介于二者之间的 $\xi$，使

$$f(x) =\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}.$$

它给出了可估计的误差。若区间上

$$|f^{(n+1)}(t)|\le M,$$

则

$$|R_n(x)| \le\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}.$$

Peano 余项适合“阶”；Lagrange 余项适合“误差多大、符号是什么”。两者用途不同。

必须熟练的展开

当 $x\to0$：

$$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} +\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n),$$ $$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} -\cdots,$$ $$\cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} -\cdots,$$ $$\ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} -\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n),$$ $$(1+x)^\alpha =1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\cdots.$$

这些不是孤立公式。考试中可由各阶导数在 $0$ 的值重新推出来，记住生成方式比死背更可靠。

Taylor 公式求极限

例如

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^3}.$$

展开

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

所以极限为 $1/6$。

若分子、分母都要展开，分别找到最低非零阶，再比较阶数：

• 分子阶数高：极限为 $0$；
• 阶数相同：极限是首项系数之比；
• 分子阶数低：通常发散或趋于无穷。

Taylor 公式证明不等式

证明 $x>0$ 时

$$0<x-\ln(1+x)<\frac{x^2}{2}$$

可在 $0$ 处对 $\ln(1+x)$ 使用一阶 Lagrange 公式：

$$\ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2(1+\theta x)^2}, \qquad 0<\theta<1.$$

因此

$$x-\ln(1+x) =\frac{x^2}{2(1+\theta x)^2},$$

右边为正且小于 $x^2/2$。

证明时不要只写“由 Taylor 公式显然”。要指出展开中心、阶数、余项形式，以及如何从余项得到符号或界。

近似计算怎样选阶数

若要求误差不超过 $\eta$：

1. 选展开中心，使 $|x-x_0|$ 尽量小；

2. 写出 Lagrange 余项；

3. 在相关区间估计高阶导数上界 $M$；

4. 找最小的 $n$ 使

   $$\frac{M|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}<\eta.$$

Taylor 多项式给的是局部近似。离展开中心太远时，即使写了很多项，也必须先有余项估计才能保证精度。

易错点

• 写 $o(x^n)$ 时展开中心默认是 $0$；在 $x_0$ 展开应写 $o((x-x_0)^n)$。
• Peano 余项不能直接给出具体误差上界。
• Lagrange 余项中的 $\xi$ 位于 $x_0$ 与 $x$ 之间，不是任意常数。
• 求极限时展开阶数由抵消情况决定，不是题目中出现几次幂就展开几阶。
• Taylor 多项式在一点匹配多阶导数，不等于在整个区间都与原函数接近。