第 4 讲：导数、中值定理与函数性态

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导数把“某一瞬间的变化率”定义成平均变化率的极限。第四章既训练求导，也训练如何从导数反推函数的整体性质。

导数是差商的极限

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h.f'(x_0) =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.

几何上它是曲线在 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) 处的切线斜率；物理上若 s(t)s(t) 是位移，则 s′(t)s'(t) 是瞬时速度。

左右导数分别使用 h→0−h\to0^-、h→0+h\to0^+。双侧导数存在，当且仅当左右导数都存在且相等。

可导为什么必连续

若 f′(x0)f'(x_0) 存在，则

f(x0+h)−f(x0)=hf(x0+h)−f(x0)h→0.f(x_0+h)-f(x_0) =h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\to0.

所以 f(x0+h)→f(x0)f(x_0+h)\to f(x_0)。反过来不成立，例如 f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 00 连续，但左右导数分别为 −1-1、11。

基本求导公式

(xα)′=αxα−1,(ex)′=ex,(ln⁡x)′=1x,(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1},\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x, (sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tan⁡x)′=sec⁡2x.(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\tan x)'=\sec^2x.

反三角函数：

(arcsin⁡x)′=11−x2,(arctan⁡x)′=11+x2.(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arctan x)'=\frac1{1+x^2}.

运算法则：

(uv)′=u′v+uv′,(uv)'=u'v+uv', (uv)′=u′v−uv′v2,\left(\frac uv\right)' =\frac{u'v-uv'}{v^2}, (f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x).(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x).

复合函数出错通常不是不会公式，而是漏乘某一层内函数的导数。可以从最外层向内逐层标记。

隐函数、参数方程和反函数

隐函数

若 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定了 y=y(x)y=y(x)，对两边关于 xx 求导：

Fx+Fyy′=0,F_x+F_y y'=0,

所以在 Fy≠0F_y\ne0 时

y′=−FxFy.y'=-\frac{F_x}{F_y}.

例如 x2+y2=1x^2+y^2=1：

2x+2yy′=0⟹y′=−xy.2x+2yy'=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac xy.

求二阶导数时，要对含 yy 和 y′y' 的一阶关系再次求导，并始终记住 yy 是 xx 的函数。

参数方程

若

x=φ(t),y=ψ(t),x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t),

且 φ′(t)≠0\varphi'(t)\ne0，则

dydx=ψ′(t)φ′(t).\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.

二阶导数为

d2ydx2=ddt(dydx)/dxdt.\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/\frac{dx}{dt}.

最后还要再除一次 dx/dtdx/dt，这是常见漏项。

反函数

若 y=f(x)y=f(x) 严格单调、可导且 f′(x)≠0f'(x)\ne0，则反函数满足

(f−1)′(y)=1f′(x),y=f(x).(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(x)}, \qquad y=f(x).

高阶导数

f(n)f^{(n)} 表示连续求导 nn 次。乘积的 nn 阶导数是

(uv)(n)=∑k=0n(nk)u(k)v(n−k).(uv)^{(n)} =\sum_{k=0}^{n}\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}.

这就是 Leibniz 公式。它与二项式展开形式相同，因为每次求导都要决定“落在 uu 上还是落在 vv 上”。

例如 f(x)=x2exf(x)=x^2e^x，当 n≥2n\ge2 时只有 x2x^2 的前两阶导数不为零：

f(n)(x)=ex[x2+2nx+n(n−1)].f^{(n)}(x) =e^x\left[x^2+2nx+n(n-1)\right].

三角函数高阶导数具有周期：

dndxnsin⁡x=sin⁡(x+nπ2).\frac{d^n}{dx^n}\sin x =\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right).

三个微分中值定理

Rolle 定理

若 ff 在 [a,b][a,b] 连续、在 (a,b)(a,b) 可导，且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使

f′(ξ)=0.f'(\xi)=0.

几何上，两端等高的光滑曲线中间至少有一条水平切线。

Lagrange 中值定理

若 ff 在 [a,b][a,b] 连续、在 (a,b)(a,b) 可导，则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).

它把函数增量变成某点导数乘区间长度。若 ∣f′∣≤M|f'|\le M，立即得到

∣f(b)−f(a)∣≤M∣b−a∣.|f(b)-f(a)|\le M|b-a|.

Cauchy 中值定理

若 f,gf,g 满足相同的连续、可导条件，且 g′g' 不为零，则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

它是 L’Hospital 法则的重要理论来源。

用导数证明单调性和不等式

若 f′(x)≥0f'(x)\ge0，则 ff 单调不减；若处处 f′(x)>0f'(x)>0，则严格递增。

证明

ln⁡x≤x−1(x>0)\ln x\le x-1\qquad(x>0)

可令

F(x)=x−1−ln⁡x.F(x)=x-1-\ln x.

则

F′(x)=1−1x=x−1x.F'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.

FF 在 (0,1)(0,1) 递减、在 (1,∞)(1,\infty) 递增，因此 F(1)=0F(1)=0 是最小值，结论成立。

这种方法的关键是把目标不等式移到一边，构造一个函数，然后寻找它的最值。

极值、最值与驻点

若 x0x_0 是内点且 ff 在此可导，x0x_0 为局部极值点，则

f′(x0)=0.f'(x_0)=0.

但反过来不成立，f′(x0)=0f'(x_0)=0 只说明它是驻点。例如 f(x)=x3f(x)=x^3 在 00 没有极值。

一阶导数变号判别：

  • +→−+\to-：局部极大；
  • −→+-\to+：局部极小；
  • 不变号：不是极值。

闭区间最值要比较：

  1. 区间内部所有驻点；
  2. 不可导点；
  3. 两个端点。

漏掉端点是计算闭区间最值最常见的错误。

凹凸性与拐点

若在区间上

f′′(x)>0,f''(x)>0,

则 ff 严格凸，切线位于曲线下方；若 f′′(x)<0f''(x)<0，则函数严格凹。

拐点要求凹凸性在该点两侧发生改变。f′′(x0)=0f''(x_0)=0 只是候选条件。例如 f(x)=x4f(x)=x^4 在 00 二阶导数为零，但两侧都凸，不是拐点。

L’Hospital 法则

对 0/00/0 或 ∞/∞\infty/\infty 型，在相应可导性条件下，若

lim⁡x→x0f′(x)g′(x)=L,\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L,

则可得到

lim⁡x→x0f(x)g(x)=L.\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L.

使用前检查：

  1. 原式确为 0/00/0 或 ∞/∞\infty/\infty；
  2. 分子、分母在去心邻域可导；
  3. 分母导数不为零；
  4. 导数之比的极限存在或为无穷。

0⋅∞0\cdot\infty、∞−∞\infty-\infty、1∞1^\infty 不能直接求导，先化为商或取对数。每使用一次后都要重新检查不定式，不能无条件连续求导。

函数作图的完整流程

导数符号与曲线极值、拐点对应的函数图像

  1. 找定义域、对称性、周期性；
  2. 求零点、截距、间断点和渐近线；
  3. 用 f′f' 列单调区间与极值；
  4. 用 f′′f'' 列凹凸区间与拐点；
  5. 结合端点和无穷远趋势作图。

导数表不是结果的装饰，而是把局部信息组织成全局图像的工具。

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