第 3 讲：函数极限与连续

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数列极限只沿整数下标前进；函数极限则允许自变量从无穷多条路径靠近一点。连续性把极限值和函数在该点的取值接起来。

函数极限的四类过程

有限点的双侧极限：

lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\to x_0}f(x)=A

表示

∀ε>0, ∃δ>0, 0<∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−A∣<ε.\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.

双侧极限存在，当且仅当左右极限都存在且相等：

lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=A.\lim_{x\to x_0^-}f(x) =\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A.

自变量趋于无穷时，邻域改为“充分远处”。例如

lim⁡x→+∞f(x)=A\lim_{x\to+\infty}f(x)=A

表示对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 X>0X>0，使 x>Xx>X 时 ∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon。

函数值趋于无穷时，结论不再是靠近某个实数。例如

lim⁡x→x0f(x)=+∞\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty

表示对任意 M>0M>0，充分靠近 x0x_0 时都有 f(x)>Mf(x)>M。

基本性质与计算

有限极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性和四则运算性质。若

lim⁡x→x0f(x)=A,lim⁡x→x0g(x)=B,\lim_{x\to x_0}f(x)=A,\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=B,

则可对和、差、积取极限；商还要求 B≠0B\ne0。

夹逼定理：

g(x)≤f(x)≤h(x),g(x)\le f(x)\le h(x),

且 g,hg,h 都趋于 AA，则 ff 也趋于 AA。

典型例子：

∣sin⁡x∣≤∣x∣|\sin x|\le |x|

可以推出

lim⁡x→0xsin⁡1x=0.\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0.

虽然 sin⁡(1/x)\sin(1/x) 在 00 附近无限振荡，但它有界，乘上趋零的 xx 后被夹住。

Heine 定理和 Cauchy 准则

Heine 定理说：

lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\to x_0}f(x)=A

当且仅当对任意满足 xn≠x0x_n\ne x_0、xn→x0x_n\to x_0 的数列，都有

f(xn)→A.f(x_n)\to A.

它的两种用法：

  • 把函数极限转成数列极限来证明；
  • 构造两列 xn,yn→x0x_n,y_n\to x_0，若函数值趋向不同，则极限不存在。

例如 f(x)=sin⁡(1/x)f(x)=\sin(1/x)。取

xn=1π/2+2nπ,yn=13π/2+2nπ,x_n=\frac1{\pi/2+2n\pi},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2n\pi},

则 f(xn)=1f(x_n)=1，f(yn)=−1f(y_n)=-1，所以 x→0x\to0 时极限不存在。

函数极限的 Cauchy 准则不需要猜极限值：在充分小的去心邻域内，任意两点的函数值都应彼此接近。

两个重要极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1,\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,

以及

lim⁡x→0(1+x)1/x=e.\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e.

第二个也常写成

lim⁡n→∞(1+1n)n=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e.

由它们可以导出大量等价无穷小：

sin⁡x∼x,tan⁡x∼x,arcsin⁡x∼x,arctan⁡x∼x,\sin x\sim x,\qquad \tan x\sim x,\qquad \arcsin x\sim x,\qquad \arctan x\sim x, 1−cos⁡x∼x22,ex−1∼x,ln⁡(1+x)∼x.1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\qquad e^x-1\sim x,\qquad \ln(1+x)\sim x.

为什么等价量不能随便用于加减

若 f∼gf\sim g，只说明 f/g→1f/g\to1。在乘除结构中替换会保留主导阶；在加减结构中，主导项可能相消。

例如 sin⁡x∼x\sin x\sim x，但

sin⁡x−x\sin x-x

的主导项是 −x3/6-x^3/6，把 sin⁡x\sin x 直接换成 xx 会错误地得到 00。此时必须用更高阶 Taylor 展开。

无穷小与无穷大的阶

设 α(x),β(x)→0\alpha(x),\beta(x)\to0：

  • α=o(β)\alpha=o(\beta)：α/β→0\alpha/\beta\to0；
  • 同阶：α/β→c≠0\alpha/\beta\to c\ne0；
  • 等价：α/β→1\alpha/\beta\to1；
  • 若 α/βk→c≠0\alpha/\beta^k\to c\ne0，称 α\alpha 是 β\beta 的 kk 阶无穷小。

例如 x→0x\to0 时

1−cos⁡x∼x22,1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},

所以它是 xx 的二阶无穷小。

无穷大的阶可以通过倒数转成无穷小来比较。若 f,g→∞f,g\to\infty 且 f/g→0f/g\to0，则 ff 比 gg 低阶。

连续函数

ff 在 x0x_0 连续的定义是

lim⁡x→x0f(x)=f(x0).\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

因此必须同时满足：

  1. f(x0)f(x_0) 有定义；
  2. 双侧极限存在；
  3. 极限等于函数值。

初等函数在其定义域内连续；连续函数的和、积、商与复合在相应条件下仍连续。

间断点分类

  • 可去间断点：左右极限相等且有限，但函数值缺失或不等于极限；
  • 跳跃间断点：左右极限都存在且有限，但不相等；
  • 第二类间断点：至少一个单侧极限不存在或为无穷。

例如

f(x)=sin⁡xx(x≠0)f(x)=\frac{\sin x}{x}\quad(x\ne0)

在 00 是可去间断；补定义 f(0)=1f(0)=1 后连续。

分段函数求参数时，一般按“左极限 = 右极限 = 分界点函数值”建立方程。

闭区间上连续函数的四个结论

若 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，则：

  1. ff 有界；
  2. ff 能取到最大值和最小值；
  3. ff 具有介值性；
  4. ff 在 [a,b][a,b] 上一致连续。

零点定理是介值定理的直接推论：

f(a)f(b)<0⟹∃ξ∈(a,b), f(ξ)=0.f(a)f(b)<0 \quad\Longrightarrow\quad \exists\xi\in(a,b),\ f(\xi)=0.

使用这些结论时，“闭区间”和“连续”都是关键条件。例如 f(x)=1/xf(x)=1/x 在 (0,1)(0,1) 上连续但无界；f(x)=xf(x)=x 在 (0,1)(0,1) 上有界，却取不到最大值和最小值。

一致连续

逐点连续允许 δ\delta 随点 x0x_0 改变；一致连续要求同一个 δ\delta 同时控制整个区间：

∀ε>0, ∃δ>0, ∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<ε.\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

δ\delta 只能依赖 ε\varepsilon，不能依赖具体的 x,yx,y。

常用充分条件：

  • 闭区间连续；
  • 导数有界；
  • 满足 Lipschitz 条件 ∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣|f(x)-f(y)|\le L|x-y|。

反例法：若能找

∣xn−yn∣→0|x_n-y_n|\to0

但

∣f(xn)−f(yn)∣≥ε0>0,|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0>0,

则函数不一致连续。例如 f(x)=x2f(x)=x^2 在 R\mathbb R 上，取 xn=nx_n=n、yn=n+1/ny_n=n+1/n，两点距离趋零，而函数值差趋于 22。

易错点

  • 函数在 x0x_0 的极限与 f(x0)f(x_0) 是否存在无关；连续才要求二者相等。
  • 只有左右极限都存在且相等，双侧极限才存在。
  • 局部保号性要求极限严格大于或小于零；极限等于零时不能推出函数在附近同号。
  • 等价无穷小优先用于乘除，不用于可能发生抵消的加减式。
  • 一致连续不是“每一点都连续”的换一种说法，它要求全区间共享同一个尺度。

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