第 3 讲：函数极限与连续

数列极限只沿整数下标前进；函数极限则允许自变量从无穷多条路径靠近一点。连续性把极限值和函数在该点的取值接起来。

函数极限的四类过程

有限点的双侧极限：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$$

表示

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$

双侧极限存在，当且仅当左右极限都存在且相等：

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x) =\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A.$$

自变量趋于无穷时，邻域改为“充分远处”。例如

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$$

表示对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>0$，使 $x>X$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$。

函数值趋于无穷时，结论不再是靠近某个实数。例如

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$$

表示对任意 $M>0$，充分靠近 $x_0$ 时都有 $f(x)>M$。

基本性质与计算

有限极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性和四则运算性质。若

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A,\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=B,$$

则可对和、差、积取极限；商还要求 $B\ne0$。

夹逼定理：

$$g(x)\le f(x)\le h(x),$$

且 $g,h$ 都趋于 $A$，则 $f$ 也趋于 $A$。

典型例子：

$$|\sin x|\le |x|$$

可以推出

$$\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0.$$

虽然 $\sin(1/x)$ 在 $0$ 附近无限振荡，但它有界，乘上趋零的 $x$ 后被夹住。

Heine 定理和 Cauchy 准则

Heine 定理说：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$$

当且仅当对任意满足 $x_n\ne x_0$、$x_n\to x_0$ 的数列，都有

$$f(x_n)\to A.$$

它的两种用法：

• 把函数极限转成数列极限来证明；
• 构造两列 $x_n,y_n\to x_0$，若函数值趋向不同，则极限不存在。

例如 $f(x)=\sin(1/x)$。取

$$x_n=\frac1{\pi/2+2n\pi},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2n\pi},$$

则 $f(x_n)=1$，$f(y_n)=-1$，所以 $x\to0$ 时极限不存在。

函数极限的 Cauchy 准则不需要猜极限值：在充分小的去心邻域内，任意两点的函数值都应彼此接近。

两个重要极限

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,$$

以及

$$\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e.$$

第二个也常写成

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e.$$

由它们可以导出大量等价无穷小：

$$\sin x\sim x,\qquad \tan x\sim x,\qquad \arcsin x\sim x,\qquad \arctan x\sim x,$$ $$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\qquad e^x-1\sim x,\qquad \ln(1+x)\sim x.$$

为什么等价量不能随便用于加减

若 $f\sim g$，只说明 $f/g\to1$。在乘除结构中替换会保留主导阶；在加减结构中，主导项可能相消。

例如 $\sin x\sim x$，但

$$\sin x-x$$

的主导项是 $-x^3/6$，把 $\sin x$ 直接换成 $x$ 会错误地得到 $0$。此时必须用更高阶 Taylor 展开。

无穷小与无穷大的阶

设 $\alpha(x),\beta(x)\to0$：

• $\alpha=o(\beta)$：$\alpha/\beta\to0$；
• 同阶：$\alpha/\beta\to c\ne0$；
• 等价：$\alpha/\beta\to1$；
• 若 $\alpha/\beta^k\to c\ne0$，称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。

例如 $x\to0$ 时

$$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},$$

所以它是 $x$ 的二阶无穷小。

无穷大的阶可以通过倒数转成无穷小来比较。若 $f,g\to\infty$ 且 $f/g\to0$，则 $f$ 比 $g$ 低阶。

连续函数

$f$ 在 $x_0$ 连续的定义是

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

因此必须同时满足：

1. $f(x_0)$ 有定义；
2. 双侧极限存在；
3. 极限等于函数值。

初等函数在其定义域内连续；连续函数的和、积、商与复合在相应条件下仍连续。

间断点分类

• 可去间断点：左右极限相等且有限，但函数值缺失或不等于极限；
• 跳跃间断点：左右极限都存在且有限，但不相等；
• 第二类间断点：至少一个单侧极限不存在或为无穷。

例如

$$f(x)=\frac{\sin x}{x}\quad(x\ne0)$$

在 $0$ 是可去间断；补定义 $f(0)=1$ 后连续。

分段函数求参数时，一般按“左极限 = 右极限 = 分界点函数值”建立方程。

闭区间上连续函数的四个结论

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则：

1. $f$ 有界；
2. $f$ 能取到最大值和最小值；
3. $f$ 具有介值性；
4. $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

零点定理是介值定理的直接推论：

$$f(a)f(b)<0 \quad\Longrightarrow\quad \exists\xi\in(a,b),\ f(\xi)=0.$$

使用这些结论时，“闭区间”和“连续”都是关键条件。例如 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续但无界；$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有界，却取不到最大值和最小值。

一致连续

逐点连续允许 $\delta$ 随点 $x_0$ 改变；一致连续要求同一个 $\delta$ 同时控制整个区间：

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.$$

$\delta$ 只能依赖 $\varepsilon$，不能依赖具体的 $x,y$。

常用充分条件：

• 闭区间连续；
• 导数有界；
• 满足 Lipschitz 条件 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$。

反例法：若能找

$$|x_n-y_n|\to0$$

但

$$|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0>0,$$

则函数不一致连续。例如 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上，取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，两点距离趋零，而函数值差趋于 $2$。

易错点

• 函数在 $x_0$ 的极限与 $f(x_0)$ 是否存在无关；连续才要求二者相等。
• 只有左右极限都存在且相等，双侧极限才存在。
• 局部保号性要求极限严格大于或小于零；极限等于零时不能推出函数在附近同号。
• 等价无穷小优先用于乘除，不用于可能发生抵消的加减式。
• 一致连续不是“每一点都连续”的换一种说法，它要求全区间共享同一个尺度。