第 2 讲：数列极限与实数完备性

数列是定义在正整数上的函数。极限研究的不是前几项，而是当下标不断增大时，后面的所有项能否稳定靠近同一个数。

ε\varepsilon-NN 定义到底在说什么

lim⁡n→∞an=A\lim_{n\to\infty}a_n=A

的严格含义是

∀ε>0, ∃N∈N∗, n>N⇒∣an−A∣<ε.\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N^*,\ n>N\Rightarrow |a_n-A|<\varepsilon.

ε\varepsilon 是任意给定的精度，NN 是达到这个精度需要等到的阶段。NN 可以依赖 ε\varepsilon，但不能依赖之后再选的 nn。

例如证明 an=1/n→0a_n=1/n\to0。给定 ε>0\varepsilon>0，只要取 N>1/εN>1/\varepsilon，则 n>Nn>N 时

∣1n−0∣<1N<ε.\left|\frac1n-0\right|<\frac1N<\varepsilon.

否定“an→Aa_n\to A”时，量词要全部反转：

∃ε0>0, ∀N, ∃n>N, ∣an−A∣≥ε0.\exists\varepsilon_0>0,\ \forall N,\ \exists n>N,\ |a_n-A|\ge\varepsilon_0.

这比“偶尔有一项离得远”强：无论走多远，后面仍能找到偏离至少 ε0\varepsilon_0 的项。

收敛数列的性质

若 an→Aa_n\to A，则：

  • 极限唯一；
  • 数列有界；
  • 若 A>0A>0，则充分靠后的项为正；
  • 每个子列都收敛到 AA。

反过来，数列有界并不保证收敛。例如 (−1)n(-1)^n 有界但振荡。

四则运算：

an→A,bn→Ba_n\to A,\quad b_n\to B

时，

an±bn→A±B,anbn→AB,a_n\pm b_n\to A\pm B,\qquad a_nb_n\to AB,

若 B≠0B\ne0，则

anbn→AB.\frac{a_n}{b_n}\to\frac AB.

分母极限不为零是必要条件。仅有每一项 bn≠0b_n\ne0 不够。

夹逼定理的形式是

an≤bn≤cn,an→L, cn→L⟹bn→L.a_n\le b_n\le c_n,\qquad a_n\to L,\ c_n\to L \quad\Longrightarrow\quad b_n\to L.

无穷小、无穷大和阶

趋于 00 的数列叫无穷小。若 an→Aa_n\to A，等价于

an=A+αn,αn→0.a_n=A+\alpha_n,\qquad \alpha_n\to0.

若对任意 M>0M>0，充分大的 nn 都有 an>Ma_n>M，写作 an→+∞a_n\to+\infty。趋于无穷并不是普通的实数极限，不能直接套所有四则运算。

比较两个无穷小常看比值：

αnβn→{0,αn=o(βn),c≠0,αn 与 βn 同阶,1,αn∼βn.\frac{\alpha_n}{\beta_n}\to \begin{cases} 0,&\alpha_n=o(\beta_n),\\ c\ne0,&\alpha_n\text{ 与 }\beta_n\text{ 同阶},\\ 1,&\alpha_n\sim\beta_n. \end{cases}

Stolz 定理：离散版 L’Hospital

典型形式：设 yny_n 严格递增且 yn→+∞y_n\to+\infty，若

lim⁡n→∞xn+1−xnyn+1−yn=L,\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L,

则在相应条件下

lim⁡n→∞xnyn=L.\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L.

它特别适合处理“累加量除以增长尺度”。例如

lim⁡n→∞1+2+⋯+nn2.\lim_{n\to\infty} \frac{1+2+\cdots+n}{n^2}.

令 xn=∑k=1nkx_n=\sum_{k=1}^n k，yn=n2y_n=n^2，则

xn+1−xnyn+1−yn=n+12n+1→12.\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} =\frac{n+1}{2n+1}\to\frac12.

所以原极限为 1/21/2。

Stolz 定理不是看到两个数列相除就能用。要先核对分母数列的单调性、发散性以及定理所要求的形式。

单调有界定理

若数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则数列收敛。

证明递推数列收敛的标准流程：

  1. 用归纳法证明始终落在某区间内；
  2. 比较 an+1−ana_{n+1}-a_n 证明单调；
  3. 由单调有界定理得到极限存在；
  4. 设极限为 LL，代回递推关系；
  5. 用数列所在区间筛掉不合适的根。

例如

a1=2,an+1=2+an.a_1=\sqrt2,\qquad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}.

可证明 0<an<20<a_n<2 且单调递增，所以收敛。设极限为 LL，则

L=2+L,L=\sqrt{2+L},

即 L=2L=2 或 L=−1L=-1。由 an>0a_n>0 排除 −1-1，故 L=2L=2。

不能先写 L=2+LL=\sqrt{2+L} 再宣称收敛；代极限之前必须先证明极限存在。

实数完备性的六种面孔

课件集中介绍了彼此等价的完备性定理：

  1. 确界存在定理；
  2. 单调有界定理；
  3. 闭区间套定理；
  4. Bolzano-Weierstrass 列紧性定理；
  5. Cauchy 收敛定理；
  6. Heine-Borel 有限覆盖定理。

它们不是六个互不相干的技巧，而是在表达同一件事：实数轴没有“本应存在却缺失”的极限点。

闭区间套

若

In=[an,bn],I1⊇I2⊇⋯ ,I_n=[a_n,b_n],\qquad I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots,

且 bn−an→0b_n-a_n\to0，则存在唯一

ξ∈⋂n=1∞In.\xi\in\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n.

闭区间和长度趋零都不能删。开区间套可能交集为空；长度不趋零时交集可能不唯一。

列紧性

每个有界数列都有收敛子列。它不保证原数列收敛，例如 (−1)n(-1)^n 有两个常值子列，分别趋于 11 和 −1-1。

Cauchy 收敛准则

数列收敛当且仅当

∀ε>0, ∃N, m,n>N⇒∣am−an∣<ε.\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ m,n>N \Rightarrow |a_m-a_n|<\varepsilon.

它不需要预先知道极限是多少，只检查尾部各项是否彼此靠近。

若数列是部分和

sn=∑k=1nuk,s_n=\sum_{k=1}^n u_k,

则

∣sn+p−sn∣=∣∑k=n+1n+puk∣.|s_{n+p}-s_n| =\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k\right|.

把尾和一致压到任意小，是常见证明路线。

上极限与下极限

对有界数列，定义尾部上、下确界：

a‾n=sup⁡k≥nak,a‾n=inf⁡k≥nak.\overline a_n=\sup_{k\ge n}a_k,\qquad \underline a_n=\inf_{k\ge n}a_k.

a‾n\overline a_n 单调递减，a‾n\underline a_n 单调递增，因此极限存在：

lim sup⁡n→∞an=lim⁡n→∞a‾n,\limsup_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\overline a_n, lim inf⁡n→∞an=lim⁡n→∞a‾n.\liminf_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\underline a_n.

它们分别是最大的子列极限和最小的子列极限。数列收敛的充要条件是

lim sup⁡an=lim inf⁡an,\limsup a_n=\liminf a_n,

此时公共值就是数列极限。

例如 an=(−1)n+1/na_n=(-1)^n+1/n，偶数子列趋于 11，奇数子列趋于 −1-1，所以

lim sup⁡an=1,lim inf⁡an=−1.\limsup a_n=1,\qquad \liminf a_n=-1.

易错点

  • “从第 NN 项起”必须控制所有后续项，不只是某一项。
  • 有界不推出收敛；单调不推出有限极限，必须配合适当的界。
  • 递推式代极限只能在已经证明收敛后使用。
  • Cauchy 条件中的 m,nm,n 要能同时任意选取。
  • 上极限不是逐项最大值，下极限也不是逐项最小值；它们来自每个尾部的确界。

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