第 1 讲：集合、映射与实数基础

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这一章看起来像预备知识，真正作用是统一后面九章的语言。极限要谈邻域和集合，反函数要依赖一一映射，单调有界定理最终又依赖实数的完备性。

集合是“对象的范围”

若 aa 是集合 AA 的元素，写作 a∈Aa\in A；若 AA 的每个元素都属于 BB，写作 A⊆BA\subseteq B。

常用运算：

A∪B={x:x∈A 或 x∈B},A\cup B=\{x:x\in A\text{ 或 }x\in B\}, A∩B={x:x∈A 且 x∈B},A\cap B=\{x:x\in A\text{ 且 }x\in B\}, A∖B={x:x∈A, x∉B}.A\setminus B=\{x:x\in A,\ x\notin B\}.

在全集 XX 中，AA 的补集为 Ac=X∖AA^c=X\setminus A。De Morgan 律是处理否定和补集的核心：

(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc.(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,\qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c.

它和逻辑中的“并非同时成立”等价：否定“或”会变成“且”，否定“且”会变成“或”。

区间和邻域

开区间、闭区间分别是

(a,b)={x∈R:a<x<b},[a,b]={x∈R:a≤x≤b}.(a,b)=\{x\in\mathbb R:a<x<b\},\qquad [a,b]=\{x\in\mathbb R:a\le x\le b\}.

x0x_0 的 δ\delta 邻域与去心邻域为

U(x0;δ)={x:∣x−x0∣<δ},U(x_0;\delta)=\{x:|x-x_0|<\delta\}, U∘(x0;δ)={x:0<∣x−x0∣<δ}.U^\circ(x_0;\delta) =\{x:0<|x-x_0|<\delta\}.

函数极限只看去心邻域，因为 x=x0x=x_0 处有没有定义、取什么值，都不影响 x→x0x\to x_0 的极限。

映射是“输入怎样对应到输出”

映射

f:A→Bf:A\to B

要求每个 x∈Ax\in A 都对应唯一的 f(x)∈Bf(x)\in B。AA 是定义域，BB 是到达域，而实际出现的输出集合

f(A)={f(x):x∈A}f(A)=\{f(x):x\in A\}

叫值域。值域不一定等于到达域。

三种性质：

  • 单射：不同输入不会得到同一输出；
  • 满射：到达域中的每个元素都能被取到；
  • 双射：既单射又满射。

只有双射才有真正意义上的逆映射 f−1:B→Af^{-1}:B\to A。例如 f(x)=x2f(x)=x^2 在 R\mathbb R 上不是单射，没有全局反函数；把定义域限制为 [0,∞)[0,\infty) 后才有 f−1(y)=yf^{-1}(y)=\sqrt y。

复合映射

(g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x))

的前提是 ff 的输出落在 gg 的定义域内。一般 g∘f≠f∘gg\circ f\ne f\circ g。

函数是实数集之间的映射

课程中还会反复使用以下性质：

  • 奇偶性：f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) 或 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)；
  • 单调性：比较 x1<x2x_1<x_2 时的函数值；
  • 周期性：存在 T>0T>0 使 f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)；
  • 有界性：存在 M>0M>0 使 ∣f(x)∣≤M|f(x)|\le M。

反三角函数来自对三角函数定义域的限制：

arcsin⁡:[−1,1]→[−π2,π2],\arcsin:[-1,1]\to\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right], arccos⁡:[−1,1]→[0,π],arctan⁡:R→(−π2,π2).\arccos:[-1,1]\to[0,\pi],\qquad \arctan:\mathbb R\to\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right).

所以 arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x)=x 只在 [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2] 内恒成立；在全体实数上不能这样消去。

集合的势：元素能否一一配对

两个集合存在双射时，称它们等势。有限集合的元素个数直观可数；无限集合则会出现反常现象：

  • 正整数集 N∗\mathbb N^* 与偶数集等势，双射可取 n↦2nn\mapsto2n；
  • 整数集 Z\mathbb Z 和有理数集 Q\mathbb Q 都是可数集；
  • 实数集 R\mathbb R 不可数。

“可数”不是元素少，而是所有元素能排成一个无穷序列。证明多个可数集的并仍可数时，可以把元素排成二维表，再沿对角线依次枚举。

Cantor-Bernstein 定理给出常用技巧：若存在 A→BA\to B 的单射和 B→AB\to A 的单射，则 AA 与 BB 等势，不必直接构造复杂的双射。

最大值和上确界不是一回事

设非空数集 S⊂RS\subset\mathbb R。

  • 若 x≤Mx\le M 对所有 x∈Sx\in S 成立，MM 是上界；
  • 最小的上界叫上确界，记为 sup⁡S\sup S；
  • 最大值必须属于集合，上确界不一定属于集合。

例如

S=(0,1)S=(0,1)

没有最大值，但

sup⁡S=1,inf⁡S=0.\sup S=1,\qquad \inf S=0.

上确界 α=sup⁡S\alpha=\sup S 可用两个条件刻画：

  1. 对任意 x∈Sx\in S，有 x≤αx\le\alpha；
  2. 对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 xε∈Sx_\varepsilon\in S，使 α−ε<xε\alpha-\varepsilon<x_\varepsilon。

第二条表示 α\alpha 再小一点就不再是上界。

确界存在原理

实数完备性的基本形式是：

非空且有上界的实数集必有上确界；非空且有下界的实数集必有下确界。

有理数集不具备这种完备性。例如

S={q∈Q:q2<2}S=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\}

在 Q\mathbb Q 中没有上确界，因为应有的边界是 2∉Q\sqrt2\notin\mathbb Q。后面“单调有界数列必收敛”正是从实数完备性生长出来的。

平面极坐标

平面点既可写成直角坐标 (x,y)(x,y)，也可写成极坐标 (r,θ)(r,\theta)：

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ.x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.

当 r≥0r\ge0 时，

r=x2+y2.r=\sqrt{x^2+y^2}.

极坐标表示不唯一：

(r,θ)∼(r,θ+2kπ),(r,\theta)\sim(r,\theta+2k\pi),

若允许负半径，还有

(r,θ)∼(−r,θ+(2k+1)π).(r,\theta)\sim(-r,\theta+(2k+1)\pi).

后面的极坐标面积公式

A=12∫αβr2(θ) dθA=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta

就建立在这一表示上。

典型判断

  1. (0,1)(0,1) 与 R\mathbb R 等势。一个可用的双射是

    x↦tan⁡π(x−12).x\mapsto\tan\pi\left(x-\frac12\right).

  2. “有上界”不等于“有最大值”。上界可以有无穷多个，上确界只有一个。

  3. 写反函数前先检查定义域上的单调性或单射性。

  4. 极限定义中的邻域半径只需存在，不要求最大，也不要求唯一。

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