第 6 讲：不定积分

不定积分是“已知导数，寻找原函数”。它没有万能算法，关键是识别被积函数的结构，把它变成基本积分公式。

原函数和不定积分

若在区间 II 上

F′(x)=f(x),F'(x)=f(x),

则 FF 是 ff 在 II 上的一个原函数。

同一区间内所有原函数只差常数：

∫f(x) dx=F(x)+C.\int f(x)\,dx=F(x)+C.

常数 CC 不能省。因为求导会丢掉常数，不定积分必须把这族函数补回来。

不定积分是一个函数族，不是一个数；因此一般不能写上下限。

基本积分公式

∫xα dx=xα+1α+1+C(α≠−1),\int x^\alpha\,dx =\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \qquad(\alpha\ne-1), ∫dxx=ln⁡∣x∣+C,\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C, ∫ex dx=ex+C,\int e^x\,dx=e^x+C, ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,∫cos⁡x dx=sin⁡x+C,\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\qquad \int\cos x\,dx=\sin x+C, ∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C,\int\sec^2x\,dx=\tan x+C, ∫dx1+x2=arctan⁡x+C,\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C, ∫dx1−x2=arcsin⁡x+C.\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C.

线性性质：

∫(af(x)+bg(x)) dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx.\int\bigl(af(x)+bg(x)\bigr)\,dx =a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx.

第一类换元：识别复合函数

若 u=φ(x)u=\varphi(x)，则

∫f(φ(x))φ′(x) dx=∫f(u) du.\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx =\int f(u)\,du.

核心信号是“内层函数”和“它的导数”同时出现。

例如

∫2x1+x2 dx.\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx.

令 u=1+x2u=1+x^2，du=2x dxdu=2x\,dx，得

∫duu=ln⁡∣u∣+C=ln⁡(1+x2)+C.\int\frac{du}{u} =\ln|u|+C =\ln(1+x^2)+C.

常见模板：

∫f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣+C,\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C, ∫f′(x)ef(x) dx=ef(x)+C,\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C, ∫f′(x)cos⁡f(x) dx=sin⁡f(x)+C.\int f'(x)\cos f(x)\,dx=\sin f(x)+C.

换元后要把所有 xx 和 dxdx 都替换掉，不能新旧变量混写。

第二类换元：主动把变量参数化

有时直接设 x=φ(t)x=\varphi(t) 更方便：

∫f(x) dx=∫f(φ(t))φ′(t) dt.\int f(x)\,dx =\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.

常见根式代换：

a2−x2:x=asin⁡t,\sqrt{a^2-x^2}:\quad x=a\sin t, a2+x2:x=atan⁡t 或 x=asinh⁡t,\sqrt{a^2+x^2}:\quad x=a\tan t \ \text{或}\ x=a\sinh t, x2−a2:x=asec⁡t.\sqrt{x^2-a^2}:\quad x=a\sec t.

例如

∫a2−x2 dx.\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx.

令 x=asin⁡tx=a\sin t，则

dx=acos⁡t dt,a2−x2=acos⁡tdx=a\cos t\,dt,\qquad \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t

（选取对应区间保证余弦符号），问题化为 a2∫cos⁡2t dta^2\int\cos^2t\,dt。

三角代换中必须同时说明参数范围，否则从 cos⁡2t\sqrt{\cos^2t} 写成 cos⁡t\cos t 可能丢掉绝对值。

分部积分

由乘积求导

d(uv)=u dv+v dud(uv)=u\,dv+v\,du

得到

∫u dv=uv−∫v du.\int u\,dv=uv-\int v\,du.

选取 uu 的原则是：求导后更简单；选 dvdv 的原则是：容易积分。

例如

∫xex dx.\int xe^x\,dx.

取 u=xu=x、dv=ex dxdv=e^x\,dx，则

∫xex dx=xex−∫ex dx=(x−1)ex+C.\int xe^x\,dx =xe^x-\int e^x\,dx =(x-1)e^x+C.

对数、反三角函数常作为 uu：

∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C.\int\ln x\,dx =x\ln x-x+C.

循环分部积分中，原积分可能重新出现。此时把它移到等式一边求解，而不是继续无限分部。

有理函数积分

有理函数是

P(x)Q(x).\frac{P(x)}{Q(x)}.

先做两步：

  1. 若 deg⁡P≥deg⁡Q\deg P\ge\deg Q，先多项式除法；
  2. 将真分式按 QQ 的实因式分解成部分分式。

线性因子：

Ax−a.\frac{A}{x-a}.

不可约二次因子：

Bx+Cx2+px+q.\frac{Bx+C}{x^2+px+q}.

例如

1x2−1=12(1x−1−1x+1),\frac1{x^2-1} =\frac12\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right),

因此

∫dxx2−1=12ln⁡∣x−1x+1∣+C.\int\frac{dx}{x^2-1} =\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.

二次因式的分子要拆成“分母导数的倍数 + 常数”，前者产生对数，后者配方后产生反正切。

三角函数有理式

对于 sin⁡x,cos⁡x\sin x,\cos x 的有理式：

  • sin⁡x\sin x 的奇次幂出现：留一个 sin⁡x dx\sin x\,dx，其余用 1−cos⁡2x1-\cos^2x，令 u=cos⁡xu=\cos x；

  • cos⁡x\cos x 的奇次幂出现：类似令 u=sin⁡xu=\sin x；

  • 两者均为偶次幂：用降幂公式；

  • 一般情形可用万能代换

    t=tan⁡x2,t=\tan\frac x2,

    此时

    sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2,dx=2 dt1+t2.\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.

万能代换能把问题化为有理函数，但不一定是最短路线，先检查奇偶性通常更快。

简单无理式积分

含

ax+bcx+dn\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}

的表达式，可令该根式为新变量，把 xx 解成新变量的有理函数。

含多个分数次幂时，可取各分母的最小公倍数作为代换指数。例如

x1/2, x1/3x^{1/2},\ x^{1/3}

同时出现，可令 x=t6x=t^6。

怎样检查结果

对所得原函数求导，是最可靠的验算。特别检查：

  • 对数是否写了绝对值；
  • 换元后是否全部换回原变量；
  • 分部积分符号是否正确；
  • 根式代换的参数区间是否保证符号；
  • 最后是否补上 +C+C。

不定积分的不同答案可能形式不同。只要二者求导相同，它们在同一连通区间内至多相差常数。

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