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这篇按课程目录中的三次作业整理。每题都先说明应该从哪里下手，再给出完整推导；重点不是记住最后的均衡，而是学会把博弈树、重复博弈和类型依赖策略翻译成可以逐项检查的条件。

作业一：完整策略与 Nash 均衡

作业一的动态博弈树

题目问：如果 $[L,(A,C)]$ 是 Nash 均衡， $[L,(A,D)]$ 是否一定也是 Nash 均衡？

图中玩家 1 先选择 $L$ 或 $R$ 。选择 $L$ 后，玩家 2 在左侧节点选择 $A$ 或 $B$ ；选择 $R$ 后，玩家 2 在右侧节点选择 $C$ 或 $D$ 。四个终点收益依次记为

a=(a_1,a_2),\quad b=(b_1,b_2),\quad c=(c_1,c_2),\quad d=(d_1,d_2).

1. 先读懂策略写法

玩家 1 只有一个决策点，纯策略为 $L$ 或 $R$ 。玩家 2 有两个可能到达的决策点，因此一个完整策略必须同时规定：玩家 1 选择 $L$ 后做什么，以及玩家 1 选择 $R$ 后做什么。

所以玩家 2 的纯策略为

(A,C),\ (A,D),\ (B,C),\ (B,D).

$[L,(A,C)]$ 表示玩家 1 选择 $L$ ，玩家 2 在左侧节点选择 $A$ 、在右侧节点选择 $C$ 。同理， $[L,(A,D)]$ 只改变了玩家 2 在右侧路径外节点的行动。

2. 检查 $[L,(A,C)]$

在该策略组合下，结果停在 $L$ ，收益为 $a$ 。

玩家 1 若单独改选 $R$ ，玩家 2 按完整策略在右侧选择 $C$ ，结果到达 $c$ 。所以玩家 1 不偏离要求

a_1\ge c_1.

玩家 2 若把左侧行动从 $A$ 改成 $B$ ，结果会从 $a$ 变成 $b$ ，因此玩家 2 不偏离要求

a_2\ge b_2.

所以 $[L,(A,C)]$ 是 Nash 均衡的条件为

a_1\ge c_1,qquad a_2\ge b_2.

3. 检查 $[L,(A,D)]$

现在玩家 1 偏离到 $R$ 后，玩家 2 会在右侧选择 $D$ ，所以玩家 1 不偏离的条件变为

a_1\ge d_1.

玩家 2 一侧仍需要

a_2\ge b_2.

因此两组策略的条件并不相同：已知 $a_1\ge c_1$ ，不能推出 $a_1\ge d_1$ 。

4. 结论与反例

答案是：不一定。

例如取

a=(2,2),\quad b=(0,1),\quad c=(1,0),\quad d=(3,0).

此时 $a_1=2\ge c_1=1$ ，但 $a_1=2<d_1=3$ 。于是 $[L,(A,C)]$ 可以满足条件， $[L,(A,D)]$ 却不能。

如果改成 $d=(0,0)$ ，则 $a_1\ge c_1$ 和 $a_1\ge d_1$ 同时成立，两者都可能是 Nash 均衡。

这道题真正考的是：动态博弈中的策略必须写出路径外行动，而路径外行动可能改变另一位玩家偏离后的结果，因此不能把两个看起来走出同一路径的策略当成同一个策略。

若题目进一步要求子博弈精炼 Nash 均衡，还必须从最后的决策节点开始逆向归纳，检查路径外行动本身是否可信。

作业二：两阶段重复博弈中的合作

作业二的一次博弈收益矩阵

1. 找出一次博弈的纯策略 Nash 均衡

逐列找玩家 1 的最优反应、逐行找玩家 2 的最优反应，可以得到四个纯策略 Nash 均衡：

X=(1,1),\quad Z=(3,3),\quad P=\left(4,\frac12\right),\quad Q=\left(\frac12,4\right).

矩阵中的 $Y=(4,4)$ 对双方都很好，却不是一次博弈的 Nash 均衡。若对手选择 $Y$ ，单方改选 $X$ 可以把当期收益从 $4$ 提高到 $5$ 。

2. 为什么最后一轮仍然可以选择不同均衡

两阶段博弈的第二轮是最后一轮，所以每段历史之后都必须选择一次博弈的某个 Nash 均衡。这里一次博弈恰好有多个均衡，而且它们对两位玩家的收益分配不同，因此可以用来设计可信的奖励和惩罚。

构造如下纯策略：

第一轮双方都选择 $Y$ ；
若第一轮双方都遵守 $Y$ ，第二轮选择 $Z$ ；
若第一轮只有玩家 2 偏离，第二轮选择 $P$ ，让玩家 2 只得 $1/2$ ；
若第一轮只有玩家 1 偏离，第二轮选择 $Q$ ，让玩家 1 只得 $1/2$ ；
若第一轮双方都偏离，第二轮选择 $X$ 。

第二轮安排的 $X$ 、 $Z$ 、 $P$ 、 $Q$ 全是一次博弈的 Nash 均衡，所以这些奖惩在相应子博弈中都是可信的。

3. 检查第一轮偏离

双方合作时，两轮总收益为

4+3=7.

若某位玩家第一轮单独偏离，他最多先得到 $5$ ，第二轮受到定向惩罚，只得到 $1/2$ ，总收益为

5+\frac12=\frac{11}{2}<7.

因此没有人愿意在第一轮单独偏离，这组策略构成子博弈精炼 Nash 均衡，并在第一轮实现了非一次博弈均衡的结果 $Y=(4,4)$ 。

4. 加入折现因子

若第二轮收益乘以折现因子 $\delta$ ，合作收益为

4+3\delta,

偏离收益为

5+\frac12\delta.

合作可持续的条件是

4+3\delta \ge 5+\frac12\delta,

即

\delta\ge\frac25.

这道题说明：有限重复不等于一定无法合作。若一次博弈有多个 Nash 均衡，就可能用不同均衡构造可信的续局奖惩。

作业三：把贝叶斯博弈转成战略式

作业三的贝叶斯博弈树

两位玩家都可能是强类型 $s$ 或弱类型 $w$ 。联合类型概率为

p_{ss}=0.3,\quad p_{sw}=0.3,\quad p_{ws}=0.2,\quad p_{ww}=0.2.

每位玩家知道自己的类型，但不知道对方类型；每种类型都要选择 $U$ 或 $D$ 。

1. 为什么每位玩家有四个纯策略

纯策略必须规定该玩家在每一种可能类型下做什么。因此可以写成

UU,\ UD,\ DU,\ DD.

第一个字母表示强类型的行动，第二个字母表示弱类型的行动。例如 $UD$ 表示强类型选择 $U$ ，弱类型选择 $D$ 。

2. 计算战略式收益

对任意策略组合，都要遍历四种类型状态，用联合概率加权。例如，先根据两人的策略确定在 $(s,s)$ 、 $(s,w)$ 、 $(w,s)$ 、 $(w,w)$ 下各自采取什么行动，再把四个状态的收益求期望。

完整的期望收益矩阵为：

玩家 1 \ 玩家 2	$UU$	$UD$	$DU$	$DD$
$UU$	$(-4,-4)$	$(-1.4,-2)$	$(-1.4,-3)$	$(1.2,-1)$
$UD$	$(-2.4,-2)$	$(-0.4,-0.6)$	$(-0.4,-1.8)$	$(1.6,-0.4)$
$DU$	$(-2.8,-1)$	$(-1.4,0.1)$	$(-1.4,-1.2)$	$(0,-0.1)$
$DD$	$(-1.2,1)$	$(-0.4,1.5)$	$(-0.4,0)$	$(0.4,0.5)$

3. 找最优反应与贝叶斯 Nash 均衡

在这个转换后的战略式矩阵中，按普通 Nash 均衡的方法找互为最优反应的格子，得到两个纯策略贝叶斯 Nash 均衡：

(UD,DD),

其期望收益为

(1.6,-0.4),

以及

(DD,UD),