第七讲 · 完全信息动态博弈的应用

第八讲看起来塞满了不同领域的模型，其实全部在重复同一种求解动作：先求后行动者在每种历史下的最优反应，再让先行动者预见这些反应并选择第一步。

一、所有模型共用的逆向结构

一个典型两阶段模型可以写成：

参与人 1 先选择 $x$ ；
参与人 2 观察 $x$ 后选择 $y$ ；
收益为 $u_1(x,y)$ 与 $u_2(x,y)$ 。

求解时先得到参与人 2 的反应函数

y^*(x)\in\arg\max_y u_2(x,y),

再把它代回参与人 1 的问题：

x^*\in\arg\max_x u_1\bigl(x,y^*(x)\bigr).

最后得到的完整策略不只是 $y^*$ ，而是整条函数 $y^*(x)$ ：参与人 2 必须说明观察到每一种 $x$ 时分别怎样回应。

二、Stackelberg：先动者如何利用反应函数

两家企业生产同质产品。企业 1 先选产量 $q_1$ ，企业 2 观察后选 $q_2$ 。

Stackelberg 模型的行动顺序

设市场需求和成本为

P=a-(q_1+q_2),\qquad C_i=cq_i.

企业 2 给定 $q_1$ 后最大化

\pi_2=q_2(a-c-q_1-q_2),

所以反应函数为

q_2(q_1)=\frac{a-c-q_1}{2}.

企业 1 预见该反应，最大化

\pi_1=q_1\left(a-c-q_1-\frac{a-c-q_1}{2}\right),

得到

q_1^*=\frac{a-c}{2}, \qquad q_2^*=\frac{a-c}{4}.

相应利润为

\pi_1^*=\frac{(a-c)^2}{8}, \qquad \pi_2^*=\frac{(a-c)^2}{16}.

Cournot 同时行动时两家各生产 $(a-c)/3$ 。Stackelberg 领头企业主动扩大产量，迫使跟随者沿反应函数缩小产量，因此获得先动优势。

先动本身不保证有利。只有当先动者能公开、不可撤回地承诺自己的选择，并且对手的最优反应有利于先动者时，优势才成立。

三、Leontief 劳资谈判：先定工资，再定就业

工会先提出工资 $w$ ，企业观察后决定就业量 $L$ 。课件设工会效用为

U(w,L), \qquad U_w>0,\quad U_L>0,

企业利润为

\pi(w,L)=R(L)-wL, \qquad R'(L)>0,\quad R''(L)<0.

先求第二阶段。给定工资 $w$ ，企业选择 $L$ 最大化利润，一阶条件是

R'\bigl(L^*(w)\bigr)=w.

由于 $R''<0$ ，对上式求导可得

\frac{dL^*(w)}{dw}=\frac{1}{R''(L^*(w))}<0.

这就是企业向下倾斜的劳动需求：工资越高，企业选择的就业量越少。

工会预见这条反应函数，在第一阶段求

\max_{w\ge 0} U\bigl(w,L^*(w)\bigr).

内部解满足

U_w+U_L\frac{dL^*(w)}{dw}=0,

也就是工会无差异曲线与企业劳动需求曲线相切。工资和就业的权衡不是口头描述，而是由企业后手反应 $L^*(w)$ 进入工会的一阶条件。

四、关税与国际市场：先制定规则，再让企业竞争

课件中的时序是：

两国政府同时选择关税；
企业观察关税；
企业再同时选择产量。

关税模型中的政府与企业行动顺序

求解仍然从企业开始：给定关税，先求企业在国际市场上的产量 Nash 均衡；政府再预测该均衡如何随关税变化，并选择使本国福利最大的税率。

课件假设国家 $i$ 的企业向本国销售 $q_i$ 、向外国出口 $e_i$ ，边际成本为 $c$ 。国家 $i$ 的市场总量和逆需求是

Q_i=q_i+e_j, \qquad P_i(Q_i)=a-Q_i.

国家 $i$ 对进口商品征收单位关税 $t_i$ 。企业 $i$ 的利润为

\pi_i= [a-(q_i+e_j)]q_i +[a-(q_j+e_i)]e_i -c(q_i+e_i)-t_je_i.

给定两国关税，企业的一阶条件给出反应函数

q_i^*=\frac{a-e_j-c}{2}, \qquad e_i^*=\frac{a-q_j-c-t_j}{2}.

联立两家企业的反应函数可得

q_i^*(t_i)=\frac{a-c+t_i}{3}, \qquad e_i^*(t_j)=\frac{a-c-2t_j}{3}.

本国福利包括消费者剩余、企业利润和关税收入：

g_i=\frac{Q_i^2}{2}+\pi_i+t_ie_j.

政府把第二阶段均衡代入 $g_i$ 再选择 $t_i$ ，得到非合作最优关税

t_i^*=\frac{a-c}{3}.

对称均衡中

q_i^*=\frac{4(a-c)}{9}, \qquad e_i^*=\frac{a-c}{9}.

若两国共同最大化 $g_1+g_2$ ，最优选择却是 $t_1=t_2=0$ 。单个政府把关税对外国一侧造成的损失排除在自己的目标之外，两国都这样做就形成类似囚徒困境的政策低效率。

五、工作竞赛：企业先设计奖金，工人再努力

企业不知道每位工人的精确产出噪声，但可以按相对排名发奖金。时序是：

企业设计第一名和第二名的报酬；
工人观察奖金差距后选择努力；
随机产出实现，企业按排名支付报酬。

工人 $i$ 的期望收益可以写成

(w_H-w_L)\Pr\{y_i(e_i)>y_j(e_j)\}+w_L-g(e_i),

其中产出为

y_i=e_i+\varepsilon_i,

$\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 独立同分布， $g(e)$ 是努力成本。工人的一阶条件是

(w_H-w_L) \frac{\partial\Pr\{y_i(e_i)>y_j(e_j)\}}{\partial e_i} =g'(e_i).

所以真正刺激努力的是奖金差

\Delta w=w_H-w_L,

而不是工资整体平移。在对称均衡 $e_1=e_2=e^*$ 中，每位工人胜出的概率为 $1/2$ ；若外部机会收益为 $U_a$ ，参与约束是

\frac12w_H+\frac12w_L-g(e^*)\ge U_a.

企业再选择 $w_H,w_L$ 最大化

2e^*(w_H,w_L)-w_H-w_L,

并在最优解处把参与约束压到等号。这样就把“先设计奖金、后选择努力”的两阶段结构完整写了出来。

该模型解释了晋升竞赛和绩效排名，也提醒我们：奖金差过大可能诱发破坏合作、过度冒险或只优化排名指标。

六、投票次序：议程本身就是策略

三名成员在 $a,b,c$ 三个方案间投票，偏好可能形成循环：

a\succ b,\qquad b\succ c,\qquad c\succ a.

这时不存在一个方案能在两两多数决中击败所有其他方案，最终结果会依赖先比较哪两个、胜者再与谁比较。

课件中的三人偏好与投票议程

若议程已经公开，而且每位成员能预见后一轮，他不会只按当前两方案的直接偏好投票，而会考虑当前胜者在下一轮面对谁。求解方法仍是逆向归纳：

先求最后一轮两方案中谁会胜；
回到前一轮，成员比较的不是眼前方案，而是它们分别会导致的最终结果；
议程设置者可以利用这种预见能力影响结果。

用一个三人例子可以直接看出战略投票。设三人的偏好分别为

1:a\succ b\succ c, \qquad 2:b\succ c\succ a, \qquad 3:c\succ a\succ b.

于是两两多数关系为 $a\succ_G b$ 、 $b\succ_G c$ 、 $c\succ_G a$ 。若议程是先比较 $a,b$ ，胜者再与 $c$ 比较：

如果第一轮所有人按眼前偏好投票， $a$ 先胜 $b$ ，第二轮却输给 $c$ ，最终是 $c$ ；
玩家 1 预见到这个结果后，会在第一轮改投自己较不喜欢的 $b$ ，因为 $b$ 下一轮能击败他最不喜欢的 $c$ ；
玩家 1、2 共同使 $b$ 在第一轮获胜，随后 $b$ 再以多数击败 $c$ ，最终结果变为 $b$ 。

因此“越晚进入议程越有利”只在成员按真实偏好逐轮投票时成立；偏好成为共同知识后，逆向归纳会诱发战略投票，结论可能改变。

所以制度设计不能只规定“多数决定”，还必须规定提案权、表决顺序、修正案规则和是否允许战略投票。

七、五个模型的共同结构

模型	第一阶段	第二阶段	核心效应
Stackelberg	领头企业定产量	跟随者定产量	可观察承诺带来先动优势
劳资谈判	工会定工资	企业定就业	工资与就业的内生权衡
关税	政府定政策	企业定产量	政策外部性造成低效率
工作竞赛	企业定奖金	工人定努力	奖金差塑造激励
投票次序	设定议程	成员逐轮表决	程序顺序改变最终选择

遇到新的动态应用时，不必先背它属于哪个著名模型。只要把时间顺序画清楚，先求后手反应，再代回前手问题，复杂故事就会还原成同一个 SPNE 求解框架。