202x 年春真题 · 答案与解析

这不是课程提供的官方标准答案，而是根据原卷独立推导的解析。建议先完成202x 年春真题，再回来核对思路。

第 1 题：策略式博弈

原博弈为：

玩家 1 \ 玩家 2	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$(0,8)$	$(8,0)$	$(10,6)$
$A_2$	$(8,8)$	$(0,4)$	$(10,6)$
$A_3$	$(6,10)$	$(6,8)$	$(12,12)$

1. 严格劣策略的迭代删除

先看玩家 2。逐行比较 $B_1$ 与 $B_2$ 的收益：

$$8>0,\qquad 8>4,\qquad 10>8.$$

所以 $B_2$ 被 $B_1$ 严格支配，可以删除。

在只剩 $B_1$、$B_3$ 后，玩家 1 的收益为：

玩家 1	$B_1$	$B_3$
$A_1$	$0$	$10$
$A_2$	$8$	$10$
$A_3$	$6$	$12$

$A_3$ 在两列下的收益都严格高于 $A_1$，所以继续删除 $A_1$。最终化简为

玩家 1 \ 玩家 2	$B_1$	$B_3$
$A_2$	$(8,8)$	$(10,6)$
$A_3$	$(6,10)$	$(12,12)$

2. 纯策略 Nash 均衡

在化简后的矩阵中：

• 面对 $B_1$，玩家 1 的最优反应是 $A_2$；面对 $A_2$，玩家 2 的最优反应是 $B_1$；
• 面对 $B_3$，玩家 1 的最优反应是 $A_3$；面对 $A_3$，玩家 2 的最优反应是 $B_3$。

所以两个纯策略 Nash 均衡为

$$(A_2,B_1),\qquad (A_3,B_3).$$

3. 混合策略 Nash 均衡

设玩家 1 以概率 $p$ 选择 $A_2$，以概率 $1-p$ 选择 $A_3$；玩家 2 以概率 $q$ 选择 $B_1$，以概率 $1-q$ 选择 $B_3$。

为了让玩家 1 混合，玩家 2 的 $q$ 必须使玩家 1无差异：

$$U_1(A_2)=8q+10(1-q)=10-2q,$$ $$U_1(A_3)=6q+12(1-q)=12-6q.$$

令二者相等，得到

$$q=\frac12.$$

同理，为了让玩家 2 混合：

$$U_2(B_1)=8p+10(1-p)=10-2p,$$ $$U_2(B_3)=6p+12(1-p)=12-6p.$$

令二者相等，得到

$$p=\frac12.$$

因此，写回原博弈的三维概率分布，混合策略均衡为

$$\sigma_1=\left(0,\frac12,\frac12\right), \qquad \sigma_2=\left(\frac12,0,\frac12\right).$$

第 2 题：$n$ 家厂商的 Cournot 竞争

厂商 $i$ 的利润为

$$\pi_i = \left(a-q_i-\sum_{j\ne i}q_j-c\right)q_i.$$

对 $q_i$ 求一阶条件：

$$\frac{\partial\pi_i}{\partial q_i} = a-c-2q_i-\sum_{j\ne i}q_j =0.$$

对称均衡中 $q_i=q$，所以

$$a-c-(n+1)q=0,$$

得到每家厂商产量

$$q_i^*=\frac{a-c}{n+1}.$$

于是

$$Q^*=\frac{n(a-c)}{n+1},$$ $$P^*=a-Q^*=\frac{a+nc}{n+1},$$ $$\pi_i^* = (P^*-c)q_i^* = \left(\frac{a-c}{n+1}\right)^2.$$

当 $n\to\infty$ 时，

$$q_i^*\to0, \qquad Q^*\to a-c, \qquad P^*\to c, \qquad \pi_i^*\to0.$$

厂商数量增加把市场推向完全竞争结果：价格趋近边际成本，单个厂商的产量和利润趋近于零。

第 3 题：两阶段重复博弈

先找一次博弈的纯策略 Nash 均衡：

$$(A_1,B_1)\text{，收益 }(3,1),$$ $$(A_2,B_2)\text{，收益 }(1,2).$$

目标结果 $(A_3,B_3)$ 的收益是 $(4,4)$，但它不是一次博弈的 Nash 均衡：面对 $B_3$，玩家 1 改选 $A_1$ 可得 $5$。

尽管如此，下面的两阶段策略可以在第一阶段实现它：

• 第一阶段选择 $(A_3,B_3)$；
• 若第一阶段双方都遵守，第二阶段选择 $(A_1,B_1)$；
• 若第一阶段出现任何其他历史，第二阶段选择 $(A_2,B_2)$。

第二阶段每段历史之后安排的都是一次博弈 Nash 均衡，因此续局行为可信。

玩家 1 遵守时，两阶段总收益为

$$4+3=7.$$

他第一阶段单独偏离时，最高当期收益为 $5$，随后在惩罚均衡中得到 $1$，总计

$$5+1=6<7.$$

玩家 2 遵守时总收益为

$$4+1=5.$$

他在玩家 1 选择 $A_3$ 时单独偏离，第一阶段最高只能得到 $2$，随后在惩罚均衡中得到 $2$，总计

$$2+2=4<5.$$

所以双方都不愿意偏离。答案是：存在这样的纯策略子博弈精炼 Nash 均衡。

第 4 题：无限重复 Bertrand 竞争

垄断总利润为

$$\frac{(a-c)^2}{4}.$$

合作时两家平分市场，因此每家每期利润为

$$\pi_C=\frac{(a-c)^2}{8}.$$

偏离者略微降价后独占市场，当期利润为

$$\pi_D=\frac{(a-c)^2}{4}.$$

偏离后永远制定 $p=c$，后续利润为零。合作的贴现总收益为

$$\frac{\pi_C}{1-\delta},$$

偏离收益只有 $\pi_D$。无偏离条件为

$$\frac{(a-c)^2/8}{1-\delta} \ge \frac{(a-c)^2}{4}.$$

约去公共项后得到

$$\delta\ge\frac12.$$

因此折现因子范围为

$$\boxed{\delta\in\left[\frac12,1\right)}.$$

第 5 题：带私人扰动的硬币匹配

设玩家 1 选择 $F$ 的总体概率为 $p$，玩家 2 选择 $F$ 的总体概率为 $q$。

1. 玩家 1 的阈值策略

类型为 $t_1$ 的玩家 1 选择 $F$ 的期望收益为

$$q(1+t_1)+(1-q)(-1),$$

选择 $B$ 的期望收益为

$$q(-1)+(1-q)(1).$$

选择 $F$ 当且仅当

$$q(4+t_1)\ge2.$$

因此存在阈值

$$\alpha=\frac{2}{q}-4,$$

使玩家 1 在 $t_1\ge\alpha$ 时选择 $F$，在 $t_1<\alpha$ 时选择 $B$。

2. 玩家 2 的阈值策略

同理，类型为 $t_2$ 的玩家 2 选择 $B$ 当且仅当

$$p(4+t_2)\ge2.$$

令

$$\beta=\frac{2}{p}-4,$$

则玩家 2 在 $t_2\le\beta$ 时选择 $F$，在 $t_2>\beta$ 时选择 $B$。

由于类型在 $[0,x]$ 上均匀分布，

$$p=\frac{x-\alpha}{x}, \qquad q=\frac{\beta}{x}.$$

代入两条阈值关系，得到

$$(\alpha+4)\beta=2x,$$ $$(\beta+4)(x-\alpha)=2x.$$

解得

$$\alpha = -2+\sqrt{\frac{x^2+4x+8}{2}},$$ $$\beta=\frac{2x}{\alpha+4}.$$

因此纯策略贝叶斯 Nash 均衡可以写成：

$$s_1(t_1) = \begin{cases} B,&t_1<\alpha,\\ F,&t_1\ge\alpha, \end{cases}$$ $$s_2(t_2) = \begin{cases} F,&t_2\le\beta,\\ B,&t_2>\beta. \end{cases}$$

边界类型无差异，单个点的选择不影响总体概率。

当 $x\to0$ 时，

$$\frac{\alpha}{x}\to\frac12, \qquad \frac{\beta}{x}\to\frac12.$$

所以

$$p=\frac{x-\alpha}{x}\to\frac12, \qquad q=\frac{\beta}{x}\to\frac12.$$

每个类型都采用确定性行动，但总体行动概率收敛到原完全信息硬币匹配博弈的 $1/2$—$1/2$ 混合均衡。这就是混合策略的“纯化”。

第 6 题：混同信号博弈

设接收者看到 $L$ 后认为发送者是类型 $t_1$ 的概率为

$$p=\Pr(t_1\mid L),$$

看到 $R$ 后的相应概率为

$$q=\Pr(t_1\mid R).$$

候选混同策略是两种类型都选择 $R$。由于 $R$ 在均衡路径上，且两种类型的先验概率都是 $1/2$，Bayes 法则给出

$$q=\frac12.$$

接收者看到 $R$ 后，选择 $u$ 的期望收益为

$$\frac12\cdot1+\frac12\cdot0=\frac12,$$

选择 $d$ 的期望收益为

$$\frac12\cdot0+\frac12\cdot2=1.$$

所以接收者在 $R$ 后选择 $d$。

$L$ 位于均衡路径外。接收者看到 $L$ 后，选择 $u$ 的期望收益为

$$2p,$$

选择 $d$ 的期望收益为

$$1-p.$$

因此接收者在

$$2p\ge1-p$$

也就是

$$p\ge\frac13$$

时选择 $u$。

在接收者采取“看到 $L$ 选 $u$，看到 $R$ 选 $d$”时：

• 类型 $t_1$ 留在 $R$ 得到 $3$，偏离到 $L$ 只得到 $1$；
• 类型 $t_2$ 留在 $R$ 得到 $2$，偏离到 $L$ 只得到 $0$。

两种类型都不愿意偏离。因此一族混同 PBE 为：

$$s_1(t_1)=s_1(t_2)=R,$$ $$s_2(L)=u,qquad s_2(R)=d,$$ $$\Pr(t_1\mid R)=\frac12, \qquad \Pr(t_1\mid L)=p\ge\frac13.$$

当 $p=1/3$ 时，接收者在 $L$ 后对 $u$、$d$ 无差异，选择 $u$ 仍然是最优反应。