202x 年春真题

下面把课程目录中的春季学期真题转写成便于作答的版本。本篇只保留题目，不包含答案；收益矩阵已经重排成 Markdown，第 6 题必须使用的博弈树则单独从原卷裁出。

第 1 题：策略式博弈

考虑如下博弈：

玩家 1 \ 玩家 2	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$(0,8)$	$(8,0)$	$(10,6)$
$A_2$	$(8,8)$	$(0,4)$	$(10,6)$
$A_3$	$(6,10)$	$(6,8)$	$(12,12)$

1. 通过严格劣策略的迭代删除化简该博弈。
2. 用在收益下画线的方法找出所有纯策略 Nash 均衡。
3. 求该博弈的混合策略 Nash 均衡。

第 2 题：$n$ 家厂商的 Cournot 竞争

市场中有 $n$ 家厂商生产同质产品。市场反需求函数为

$$P(Q)=a-Q, \qquad Q=\sum_{i=1}^{n}q_i,$$

厂商 $i$ 的成本函数为

$$C_i(q_i)=cq_i.$$

1. 求该博弈的 Nash 均衡产量、市场总产量、价格和各厂商利润。
2. 讨论 $n\to\infty$ 时这些变量的极限。

第 3 题：两阶段重复博弈

考虑下面的一次博弈，并将它重复两次。第一阶段结束后，双方都能观察到第一阶段的行动；不考虑折现。

玩家 1 \ 玩家 2	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$(3,1)$	$(0,0)$	$(5,0)$
$A_2$	$(2,1)$	$(1,2)$	$(3,1)$
$A_3$	$(1,2)$	$(0,1)$	$(4,4)$

是否存在一个纯策略子博弈精炼 Nash 均衡，使第一阶段实现 $(A_3,B_3)$，也就是当期收益 $(4,4)$？若存在，请写出完整策略并说明理由；若不存在，请说明原因。

第 4 题：无限重复 Bertrand 竞争

两家厂商进行无限重复的 Bertrand 价格竞争。双方在合作阶段都制定垄断价格

$$p_m=\frac{a+c}{2}.$$

若任何一方偏离，则从下一期开始双方永远制定 $p=c$。已知单方偏离能够获得的当期利润为

$$\frac{(a-c)^2}{4}.$$

求使上述冷酷触发策略能够维持合作的折现因子 $\delta$ 范围。

第 5 题：带私人扰动的硬币匹配

玩家 1 和玩家 2 分别观察自己的私人类型

$$t_1,t_2\sim U[0,x],$$

二者相互独立。然后双方同时选择正面 $F$ 或反面 $B$，收益矩阵为：

玩家 1 \ 玩家 2	$F$	$B$
$F$	$(1+t_1,-1)$	$(-1,1+t_2)$
$B$	$(-1,1)$	$(1,-1)$

求该不完全信息博弈的纯策略贝叶斯 Nash 均衡，并说明当 $x\to0$ 时，它如何逼近原硬币匹配博弈中双方各以 $1/2$ 概率随机化的混合策略均衡。

第 6 题：混同信号博弈

根据原题图中的收益，求一个两种发送者类型都选择 $R$ 的混同精炼贝叶斯 Nash 均衡。答案应完整写出：

• 两种发送者类型的策略；
• 接收者看到 $L$ 和 $R$ 后的行动；
• 接收者在两个信息集上的信念；
• 支撑该均衡的信念范围。

做完以后，可前往202x 年春真题答案与解析核对。